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1、2019年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答(2019年4月7日)选择题答案123456BADCBC填空题答案1234567874037ad6425663[2.625,2.8)450820193一、选择题1.已知集合M={2,0,1,9},A是M的子集,且A中各元素之和为3的倍数,则满足条件的子集A的个数是(A)8.(B)7.(C)6.(D)5.答:B.解:经枚举,各元素之和为3的倍数的子集有{0},{9},{2,1},{0,9},{2,0,1},{2,1,9},{2,0,1,9}共7个.2.如图,∠BAF=∠FEB=∠EBC
2、=∠ECD=90°,∠ABF=30°,∠BFE=45°,∠BCE=60°,AB=2CD.则tan∠CDE等于BC42328652D(A).(B).(C).(D).A3836答案:选A.FEEC解:因为tan∠CDE=,考虑已知条件,有CDABABBFBEEC2=CDBFBEECCD1=cos30sin60tanCDEsin4533=2tanCDE.22842所以tan∠CDE=.3233.对于无理数e=2.71828182845…,定义函数f(n)=k,定义域是正整数,其中k是e的小数点后第n位的数字,规定
3、f(0)=2,则f(f(f(n)))的值域是(A){3,4,6,9}.(B){2,0,1,9}.(C){0,3,5,9}.(D){1,2,7,8}.2019年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答共5页第1页答:D.解:易知f(n)的值域为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},f(f(n))的值域为{1,2,7,8},f(f(f(n)))的值域是{1,2,7,8}.4.在平面直角坐标系中,已知两点A(cos110°,sin110°),B(cos50°,sin50°),则由坐标原点O到AB中点M的距离是y123AM(A).(B
4、).(C).(D)1.B2221答:选C.1解:画草图,易知OA=1,OB=1,OxAOB1105060.所以,AOB是正三角形.所以,
5、AB
6、=1.由点O到AB中点M的距离是边长为13的正三角形的高线的长,即等于.25.设[x]表示不超过x的最大整数,则方程2x−2[x]−1=0的根的个数是y(A)4.(B)3.(C)2.(D)1.y答:B.10解:因为方程2x−2[x]−1=0的根的个数等价于函数y=2x−18的图象与函数y=2[x]的图象的交点个数.在同一个平面直角坐6标系中,分别画出函数y=2x−1的图象与函数y=
7、2[x]的图象,4如右图,两函数的图象共有3个交点,所以方程2x−2[x]−1=02有3个根.123456yx6.如图,已知半径分别等于3厘米和5厘米的⊙B,⊙C−2外切于点A.两圆的一条外公切线切⊙B于点D,切⊙C于点E,−4过A作DE的垂线与BC的中垂线交于点F,H是BC的中点.则△AHF的面积等于11131517E(A).(B).(C).(D).2222D答:C.HC解:如图,连接BD、CE,过B作CE的垂线,垂足为BAM,因为DE是两圆的公切线,D、E是切点,所以BD⊥DE,FCE⊥DE,于是四边形BDEM为矩形,有BM∥DE,B
8、D=EM,2SAHFAHCM=CE−BD=2.易知,△FHA∽△BMC,所以,SCMBCMBAAC又AHBHBABA431.222在Rt△BCM中,根据勾股定理,有BM82215,2019年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答共5页第2页E1所以,S△CMB=2152215,进而有D2M2H115BACS△AHF=S△CMB×=.22F二、填空题337142852857141.计算=________.337142854285717答:.822(71428528571
9、4)(714285714285285714285714)解1:原式22(714285428571)(714285714285428571428571)2(714285285714)(714285428571285714)2(714285428571)(714285285714428571)D71428528571499999971428577=.7142854285711142856814285783333(1428575)(1428572)521337197解2:原式=.33
10、33(1428575)(1428573)531528198DA2.一个正方体木块ABCD-A31B1C1D1的体积为512cm,如图,MM为棱CB的中点,N为棱BB1的中点.过A,M