第十五届应用竞赛初赛试题及参考解答.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答一、（满分20分）在测量课上，老师交给的任务是测量楼前旗杆的高度。小王灵机一动，想出了如下的测量法：请同学小李当“参照物”站在旗杆下，在离旗杆较近的地方，用手机拍下小李和旗杆的照片，如图所示。然后把照片放在计算机的屏幕上,量出旗杆有6。3个小李的高度，小李的身高为1.65米，于是得到旗杆的高度约为6.3´1.65=10.4（米)(1)你认为这种测量方法如何？如认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如认为有问题，请说明问题出在何处,结果偏大还

2、是偏小？（2)你认为测量中如何做就能减少误差，得到正确的结果？参考解答：(1)这个方法虽然操作简单易行，但却是有问题的，这样得到的结果,与实际真实的结果相比，偏小。照相者离旗杆越近,误差越大。事实上,从这张照片上可以看到,同样大小的窗户框，其高度在照片上看，四层的只有一层的70％,这符合“近大远小”的视觉规律。因此旗杆下面的“一人高"和旗杆顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的，小王却把它当成一样的计算了。而顶端的“一人高"比下端的一人高所对应的实际尺寸要大,故小王的结果偏小了。(2）减少误差的思路有两种，一是远

3、离旗杆，用长焦镜头拍照.这时摄影者到旗杆底部和到旗杆顶部的距离差会缩小，从而减少误差。但也要注意，距离远了,旗杆和人像也会变小，观察度量长度时的误差也会变大。二是考虑“近大远小”的变化率,比如可以根据图片量出,旗杆下端一米对应a毫米，旗杆顶端用国旗的实际宽度算出一米对应b毫米，可以认为整个旗杆平均一米等于图中的(a+b）/2毫米，于是用旗杆在照片上的总长度（毫米），除以（a+b）/2就是旗杆的真实高度(米)。二、（满分20分）人们日常生产的产品——个人收集整理勿做商业用途大到飞机、汽车,小到锅碗瓢盆-—其表面通常是

4、由一些光滑的曲面拼接而成的。在不同曲面的衔接处,我们往往也希望它是光滑的。如何能做到这一点呢?为简单起见，我们只考虑平面上两条光滑曲线在衔接点是光滑（没有尖角)的。1．给定平面上两条光滑的曲线，它们在某一点衔接。请你给出一个标准（即给出定义），用它来说明，在这个衔接点是光滑的。2．给定平面直角坐标系，在x=2左侧的曲线是函数y=x2−x+c（x≤2）的图像，其中c是参数，在x=2右侧的曲线是函数y=alnx(x≥2）的图像,其中是参数。请你选择适当的参数a，c（即，选择x=2左右两侧适当的曲线)使得在x=2时上述两

5、条曲线衔接，且在衔接点满足你所给出的光滑标准。参考答案1．两条光滑曲线在衔接点是光滑的，就是衔接后的整条曲线在该点的切线存在。等价于原来的两条曲线在衔接点的切线重合,即两个函数在该点的导数相等。2．在直线x=2左侧的曲线y=x2−x+c（x≤2）的导数是2x−1,在x=2的值都是3,和参数值c无关。在x=2右侧的曲线y=alnx（x≥2)的导数是，在x=2的值是。根据刚刚给出的定义，为了保证两条曲线衔接后在衔接点处是光滑的，要求这两个值相等,即要求=3，解得a=6。选择在直线x=2右边的曲线为函数y=6lnx（x≥

6、2）的图像。由于x=2时的函数值为6ln2,所以两条曲线的衔接点为(2，6ln2).为使左边的曲线y=x2−x+c（x≤2）也过点(2，6ln2），则选取c，满足22−2+c=6ln2。解得c=6ln2−2.三、(满分20分）2011年8月7日，D22次列车(长春—北京动车组，经停站:长春—四平-铁岭-沈阳北—盘锦北—北戴河—滦县-北京）上的一位乘客记录下了列车运行全程的时刻与速度对应表如下（速度单位：千米/小时）:时刻15：1815:2515：2615:2715：2815:3015：3115:3215：3315:

7、35个人收集整理勿做商业用途速度0130158156154156162161152160时刻15:3615:3715：3815:4015：4115：4215:4315：4515:4615:47速度161157161161161161161152161161时刻15:4815:5015:5115：5215：5315:5515:5615:5715:5816：00速度155160157159160156156160161156时刻16:0116:0416:0516：0616：0816：0916:1016：1216：131

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