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《抛物线焦点弦问题(附答案解析).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、（难度3星）1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点，且经过点2,2.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点Q1,0的直线交抛物线于M、N两点，P点是直线l:x=-1上任意一点.证明：直线PM、PQ、PN的斜率依次成等差数列.【答案】（1）y2=2x；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线C关于x轴对称,可设抛物线为y2=2px，而点2,2在抛物线上，从而有22=2p×2，得p=1，故抛物线方程为y2=2x；（2）设点P-1,t是直线l上任意一点，直线交抛物线于M、N两点,所以直线MN的斜率不等于0，可设直线MN
2、:x=my+1交抛物线于Mx1,y1、Nx2,y2，由x=my+1y2=2x可得：y2-2my-2=0从而有y1+y2=2m,y1y2=-2,kPM=y1-tx1+1，kPN=y2-tx2+1，kPQ=-t2且在直线上,所以有:x1=my1+1,x2=my2+1kPM+kPN=y1-tx1+1+y2-tx2+1=2my1y2+2-tmy1+y2-4tm2y1y2+2my1+y2+4=-2tm2-4t2m2+4=-t，而2kPQ=-t，即证kPM+kPN=2kPQ.得证直线PM，PQ，PN的斜率成等差数列.（难度2星）2．（2020·河南高二期末（理））已知F是抛物线Cy2
3、=2px(p>0)的焦点，M1,t是抛物线上一点，且
4、MF
5、=2.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若OA⋅OB=-4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】(1)y2=4x；(2)是，N2,0.【解析】（1）由抛物线的定义知
6、MF
7、=1+p2=2,∴p=2,∴抛物线C的方程为：y2=4x（2）由题意知:可设AB的方程为：x=my+n,代入y2=4x有y2-4my-4n=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1⋅y2=-4n,∴x1⋅x2=y1⋅y2216=n2,∴OA⋅OB=x1⋅x2+y1
8、⋅y2=n2-4n=-4∴n=2∴AB的方程为x=my+2,恒过点N2,0.所以直线l过定点(2,0).（难度2星）3．（2020·江西高二期末（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F为圆x2+y2-2x=0的圆心.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线相交于AB两点，且AB=5，求直线l的方程.【答案】（1）y2=4x（2）y=2x-2或y=-2x+2【解析】（1）圆的标准方程为(x-1)2+y2=1，圆心坐标为(1,0)，即焦点坐标为F(1,0)，则p2=1,p=2得到抛物线C的方程y2=4x（2）设直线l的方程为：x=my+1
9、联立抛物线C的方程y2=4x消y整理得：x2-4m2+2x+1=0∴x1+x2=4m2+2根据焦点弦的性质可知:AB=x1+x2+p=4m2+4又因为AB=5∴4m2+4=5解得m=±12所以所求直线l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2（难度2星）4．（2019·四川高二期末（文））已知点A(-2,0)，B(3,0)，动点P(x,y)满足：PA⋅PB=x2-6.（1）求动点P的轨迹E；（2）已知点F14,0，若曲线E上一点M到x轴的距离为12，求
10、MF
11、的值.【答案】（1）焦点在x轴，开口向右的抛物线y2=x；（2）12【解析】（1）P点坐标为(x,y),则有:PA=
12、(-2-x,-y)，PB=(3-x,-y)∴PA⋅PB=x2-x-6+y2=x2-6，即：y2=x，∴点P的轨迹为焦点在x轴，开口向右的抛物线.（2）由题意可得：yM=±12代入方程求得xM=14,所以M14,±12,而F14,0∴MF=14-142+±12-02=12,即MF=12.
