第2章 线性时不变系统

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1、第2章线性时不变系统LinearTime-InvariantSystemsLTI系统的框图结构表示。本章主要内容：信号的时域分解——用表示离散时间信号；　用表示连续时间信号。LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。LTI系统的微分方程及差分方程表示。奇异函数。2.0引言(Introduction)基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论

2、与方法奠定了基础。问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；2.如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。作为基本单元的信号应满足以下要求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。如果解决了信号分解的问题，即：若有则将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。分析方法：离散时间信号中,最简单的是,可以由它的线性组合构成，即：2.1离散时间LTI系统

3、：卷积和一.用单位脉冲表示离散时间信号对任何离散时间信号,如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。（Discrete-TimeLTISystems:TheConvolutionSum）二.卷积和（Convolutionsum）于是有：表明：任何信号都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。如果一个线性系统对的响应是，由线性特性就有系统对任何输入的响应为：若系统具有时不变性，即：若，则因此，只要得到了LTI系统对的响应单位脉冲响应(impulseresponse)，就可以得到LTI系统对任何输入信号的响应：

4、这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（Theconvolutionsum）。三.卷积和的计算计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。运算过程：将一个信号不动，另一个信号经反转后成为,再随参变量移位。在每个值的情况下，将与对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到时刻的。例1：...例2：①时，②时，③时，④时，⑤时，通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。例3.列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：①与的所有各点都要遍乘一次；②在遍乘后，各点相加时

5、，根据，参与相加的各点都具有与的宗量之和为的特点。优点：缺点：计算非常简单。①只适用于两个有限长序列的卷积和；②一般情况下，无法写出的封闭表达式。卷积和：对位相乘法卷和计算有解析法、图解法和变换法对位乘加法：当两个序列都是有限长序列时，可使用“对位乘加法”计算卷和。此方法实际上是用对位排列运算巧妙地取代翻转平移运算。该方法首先把两序列的样本值右端对齐地排列，然后把逐个样本值对应相乘但不要进位，最后把同一列上的乘积值对位求和，就得到所需卷和。卷积和：对位相乘法计算，其中对位相乘法需注意的问题卷积后的序列起止点需注意上题中两个序列的起始点不同，卷积后起点为1，不是0。对位相乘法

6、需注意的问题参与卷积运算的序列中间有若干信号值为零，需补零处理对位相乘法需注意的问题此外，对有限长序列的卷积运算可通过z变换求解或者将序列表示为两个有限个样值序列移位加权和形式，直接用卷积的性质求解直接利用有限长序列求解卷积卷积后的序列起止点需注意利用z变换求解与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：对一般信号，可以将其分成很多宽度的区段，用一个阶梯信号近似表示。当时，有（Continuous-TimeLTISystems:Theconvolutionintegral）一.用冲激

7、信号表示连续时间信号2.2连续时间LTI系统：卷积积分引用，即：则有：当　　时，第个矩形可表示为：这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号，即：表明：任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。于是：二.卷积积分（Theconvolutionintegral）与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对的响应为，则该系统对的响应可表示为：表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分（Theconvolutionintegral）。若系统是时不变的，即：若，则有