第5章 线性时不变系统的变换分析

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1、第5章线性时不变系统的变换分析5.0引言5.1LTI系统的频率响应5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数5.3有理系统函数的频率响应5.4幅度和相位之间的关系5.5全通系统5.6最小相位系统5.7广义线性相位的线性系统5.8小结变换表示：5.0引言LTI的离散系统可以用下述方法表示：差分方程：方便分析能够反映频域特性先进行z变换分析，然后利用下式变换到频域5.1LTI系统的频率响应表示为极坐标：其中：幅度响应（增益）相位响应（相移）如果上述增益和相移是我们不需要的，则称为幅度、相位失真。一、DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：（1）频率变量

2、以数字频率表示，，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率为周期；（3）频率特性只限于范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。5.1.1理想频率选择性滤波器0低通高通带通00带阻全通00二、DF的性能要求（低通为例）0通带截止频率阻带截止频率通带阻带过渡带平滑过渡三、DF频响的三个参量1、幅度平方响应2、相位响应3、群延迟它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。5.1.2相位失真和延迟线性相位失真，带来信号的输出延时。此类失真可以忍受。对延时我们可以将其他信号也延时，从而达到系统同步。延时的多少（群延迟）

3、：群延迟是衡量相位线性度的标准。例5.1衰减和群延迟的效果对于任何一个非线性的曲线，主要分割的足够小，每一段均可认为是线性的。因此，对于非线性相位的系统，可以认为在每一小段内都是线性的，每一小段对应于一个窄带信号。即对为各窄带信号的延迟都是相同的，每个窄带信号内包含若干频率分量，这些频率分量定义为一组（一群）信号。即对这一群信号的延迟是相同的，因此定义为群延迟。5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数差分方程Z变换系统函数进行因式分解：M个零点：M个极点：0N个零点：0N个极点：零点：M+N个极点：M+N个例5.2（p201）5.2.1系统的稳定性因果性稳定性:收敛域包

4、含单位圆；因果性：右边序列（收敛域）；例题5.3（p202）5.2.2逆系统系统与其逆系统级联后，总的系统响应为1。即逆系统的幅度响应为原来系统的倒数（故对数幅度为原来的负值），相位响应和群延迟为原来的负值。5.2.2逆系统不是所有的逆系统都存在，如低通滤波器不存在逆系统。因无法恢复幅度响应为零的频率分量。逆系统和原系统零极点的关系零点是原来的极点；极点是原来的零点。问题：逆系统的收敛域，（因果稳定的系统，极点在单位圆内），逆系统的极点在单位圆内=原系统的零点在单位圆内。这样的系统称为最小相位系统。5.2.3有理函数的单位脉冲响应系统函数部分是展开其时域表示5.2.3有理函

5、数的单位脉冲响应其时域表示根据上式可以将系统分为两类：FIR:h（n）是有限长的（只有前面的有限个累加项），没有非零极点。（例5.6，P204）IIR：h（n）是无限长的，有非零极点。（例5.7，P205）5.3有理系统函数的频率响应对稳定的LTI系统幅度响应幅度平方：对数表示：零点极点相位响应：群延迟：相位响应的主值记作：为整数。相位响应的主值的计算调整到主值范围内另一种求法：群延迟的求法由连续相位求解除去主值跳变值，也可用主值或不确定相位求解：5.3.1单个零点或极点的频率响应考虑一个最简单系统（单个零点或极点）。幅度响应幅度响应对数表示主值相位群延迟周期函数：时：幅度

6、达到极小值；相位为零；群延迟极小；时：幅度达到极大值上图分别为r=0.9和3种theta值时，单一零点的频率响应（1）对数幅度（2）相位（3）群延迟(1）对数幅度（2）相位（3）群延迟fig5_8.m图解幅度相位时：幅度达到极小值；相位为零；群延迟极小；时：幅度达到极大值响应和r的关系r=1时幅度响应可以为0；相位出现跳变。群延迟极值。（1）对数幅度上图分别为单个零点的频率响应，其中theta=pi，r=1，0.9，0.7和0.5（1）对数幅度（2）相位（3）群延迟（2）相位（3）群延迟fig5_11.m上面分析的是零点的例子。对于极点，是零点的倒数。幅度的对数表示，相位，

7、群延迟均是零点的负值。幅度:时，极小。时，极大。r=1时，幅度可以达到无穷大。5.4幅度和相位之间的关系一般系统，幅度和相位之间没有制约。对于有理函数系统，幅度和相位之间有制约。以复数为例，给定复数的幅度和相位，复数确定。复数本身的幅度和相位之间没有联系。除非加上额外的限制，才能制约幅度和相位。例如加上系统零极点选择的限制。5.4幅度和相位之间的关系例如：当幅度特性和零极点个数已知，则其相位特性仅有有限个选择。当相位特性和零极点个数已知，则除去幅度加权因子，其幅度特性仅有有限个选择。对于最小相位系统，幅度特性决定相