线性时不变系统的变换分析

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1、第五章线性时不变系统变换分析TransformAnalysisofLinearTime-InvariantSystems5.0引言傅立叶变换，z变换分析LTI系统LTI系统单位脉冲响应h[n]频率响应H(ejω)h[n]（傅立叶变换)---存在（收敛）H(z)h[n]（z变换)---傅立叶变换推广，收敛LTI系统h[n]，H(ejω)，H(z)Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)Y(z)=H(z)X(z)H(z)----系统函数（systemfunction）5.1LTI系统的频率响应频率响应---系统对指数输入（特征函数）ejωn的复增益（特征值）系统的输入输出关系（频

2、域）：Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)

3、H(ejω)

4、---幅度响应，增益≮H(ejω)---相位响应，相移5.1.1理想频率选择性滤波器

5、H(ejω)

6、对不同频率的值决定了输出在响应频率上的值。理想低通滤波器：选取信号的低频成分，抑制信号的高频成分其响应的单位脉冲响应：理想高通滤波器ωc<

7、ω

8、≤π频率无失真通过，ωc以下频率不予通过理想滤波器：（1）h[n]无限长---非因果----计算上不可实现（2）相位响应为零因果性非零相位响应5.1.2相位失真和延迟（phasedistortionanddelay）理想延迟系统：相位失真：线性相移一种轻微的失真产生序列上的移位

9、延迟失真（不产生波形上的变形）近似理想滤波器设计：线性相位响应理想模型例：具有线性相位的理想低通滤波器具有线性相位的理想频率选择性滤波器：分隔输入信号频带(频率选择)输出延迟nd群延迟（groupdelay）:相位特性线性程度的一种度量定义：含义：对窄带输入x[n]=s[n]cos(ω0n)s[n]为包络，ω0载波频率即X(ejω)仅在ω=ω0附近为非零系统的相位效果（在ω=ω0附近）：即系统的输出：包络的延迟相位特性导数的负值非因果例子：衰减和群延迟的效果5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数理想频率选择性滤波器（近似、逼近）一类频率选择性滤波器考虑由线性常系数差分方程

10、表示的一类系统：对于初始松弛（initialrest）的辅助条件因果、线性、时不变z变换（分析、描述）线性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征方程两边z变换系统函数：或差分方程系统函数系数直接对应关系零极点形式例：5.2.1稳定性和因果性对一个系统函数H(z)，对应于一个差分方程（线性时不变）不同的收敛域不同的单位脉冲响应h[n]因果、稳定的条件：（线性时不变系统）ROC是一个圆的外部，且包括单位圆也就意味着：系统函数的全部极点在单位圆内5.2.2逆系统（InverseSystems）定义：与系统H(z)级联后的总系统函数：G(z)=H(z)Hi(z)=1时域：g[n]

11、=h[n]＊hi[n]=δ[n]频率响应：并不是所有系统都有逆系统，如理想低通滤波器没有逆系统表示：无法恢复被理想滤波器滤去的频率分量。具有有理系统函数的一类系统：零极点---互换逆系统的收敛？卷积定理表示：H(z)和Hi(z)收敛域重合（不要求完全相同）若H(z)因果，收敛域为：上式收敛域内某个重合区域即Hi(z)的收敛域例子1：一阶系统的逆系统Hi(z)收敛域的两者可能：

12、z

13、＞0.5和

14、z

15、＜0.5重合的收敛域：

16、z

17、＞0.5相应的单位脉冲响应：例子2：逆系统：收敛域的两种可能：

18、z

19、＞2和

20、z

21、＜2都与

22、z

23、＞0.9重合都是有效的逆系统推论：H(z)为因果系统，零点是ck,k=

24、1,…,M，当且仅当Hi(z)的收敛域为：逆系统一定因果。若同时要求逆系统稳定，Hi(z)的收敛域必须包括单位圆，即表示H(z)的全部零点在单位圆内。当且仅当H(z)的零点和极点都在单位圆内时。稳定因果系统稳定因果逆系统定义为：最小相位系统（minimum-phasesystems）5.2.3有理系统函数的单位脉冲响应H(z)作z反变换（部分分式法）h[n]一阶极点的有理系统函数：若系统因果，可得：若至少存在一个非零极点，h[n]无限长，IIR系统若除z=0外，没有极点h[n]有限长，FIR系统FIR系统，差分方程==卷积例子：一个简单的FIR系统，h[n]为无限长指数序列的截断其

25、系统函数分子的零点：若a为正实数，系统的极点（z=a）被一个零点抵消M=75.3有理系统函数的频率响应频率响应：e-jω----变量频率响应（幅度相位群延迟）零极点关系（表示）用z=ejω代入H(z)，得频率响应幅度：采用幅度平方函数：或幅度表示：全部零点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积/全部极点到单位圆上的幅度（随频率变化）乘积

26、1-cke-jω

27、=

28、ejω-ck

29、/

30、ejω

31、=

32、ejω-ck

33、为矢量ejω-ck的长度，而矢量ejω-c