信号与系统第2章线性时不变系统的性质

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1、2.3线性时不变系统的性质hn[]x[]nx()tyt()ht()yt()（PropertiesofLinearTime-InvariantSystems）ht()⇒x()tx[]nyn[]hn[]yn[]一.卷积积分与卷积和的性质1.交换律：∞yn[][][]=∗=xnhn∑xkhnk[][−]结论：k=−∞∞一个单位冲激响应是ht()的LTI系统对输入=−=∑x[nkhkhnxn][][][]∗信号x()t所产生的响应，与一个单位冲激响应k=−∞∞x()tht()yt()=∗=xtht()()∫xht()(

2、τ−ττ)d是的LTI系统对输入信号所产生的响应−∞∞相同。=−∫x(thdhτττ)()=()tx∗()t−∞2.分配律：结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响x[][[]nhnhnxnhnxnhn∗+=∗+∗[]][][][][]1212应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。x()[()ththtxthtxtht∗+=∗+∗()]()()()()1212x[]nyn[][][[]=xn∗+hnhn12[]]3.结合律:hnhn[]+[]x()t12yt()=xt()[()∗+htht()][[

3、][]]xnhnhnxnhnhn∗∗=∗∗[][][[][]]121212htht()+()12[()xththtx∗∗=∗∗()]()()[()ththt()]⇒ht()12121x[][]nhn∗1hn[]1x()tx[]nyn[]x()tht∗()yt()[()=∗∗xtht()]ht()112⊕ht1()ht2()x()tyt()x[]nyn[][[][]][]=∗∗xnhnhnhn[]hn[]12hn2[]12x[][]nhn∗ht()22⇒x[][][][][][]nhnhnxnhnhn∗12∗=∗

4、∗21x()tyt()=∗∗xt()[()htht12()]x()ththtxththt∗∗=∗∗12()()()21()()htht()∗()12yn[][][[]=∗∗xnhnhn[]]x[]n12x[]nyn[]hn[]hn[]hnhn12[]∗[]x()t12yt()ht()ht()12结论：x[]nyn[]=hn[]hn[]•两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲)响x()t21yt()ht()ht()21应等于各子系统单位冲激(脉冲)响应的卷积。产生以上结论的前提条件：•由于卷积运算满足交换律

5、，因此，系统级联的先后①系统必须是LTI系统；次序可以调换。②所有涉及到的卷积运算必须收敛。12如：x()ty()2()tx=t4.卷积运算还有如下性质：平方乘2卷积积分满足微分、积分及时移特性：若交换级联次序，即成为：2①若x()()thtyt∗=()，则x()tyt()4()=xt乘2平方xthtxthtyt′()()∗=∗=()′′()()显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。ttt[∫∫x()]()τdhττ∗=∗tx()[thd()][τ=∫yd()]ττ又如：若hn[][][1],=−−δn

6、δnhnun[][]=，−∞−∞−∞12虽然系统都是LTI系统。当xn[]1=时，如果交换②若x()()thtyt∗=()，则级联次序，则由于x[][]nun∗不收敛，因而也是不x()(tt−∗=∗−=−ht)(xthtt)()()ytt000允许的。xn[]1=0yn[]0=hn[]hn[]12卷积和满足差分、求和及时移特性：例如：2.2中的例2.7①若x()()nhnyn∗=()，则将x()t微分一次有:x′()ttt=−−δ()δ(T)[[][1xnxn−−∗=∗−−]][][][][1hnxnhnhn[

7、]]x′()tht()=−−ynyn[][1](1)2T∗nnnTt[∑∑x[]][][][kh∗=∗nxnh[]]k=∑y[]k0kk=−∞=−∞k=−∞(1)−t02T②若x[][][]nhnyn∗=，则根据微分特性有:x[nn−∗=∗−=−][][][hnxnhnn][ynn]000yt′()=xtht′()()∗=∗−−ht()[()δtδ(tT)]恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：=−−hthtT()()yt′()二.LTI系统的性质2TLTI系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表T02Tt征，因

8、而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳T3T定性）都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。−T1.记忆性：−2T∞yt()根据y[]nx=∑[][khn−k]，如果系统是无记忆的，32k=−∞利用积分特性即可得:T2则在任何时刻n，yn[]都只能和n时刻的输入有tyt()=∫y′()τdτ12关，和式中只能有kn=时的一项为非零，因此必−∞T2t须有：hnk[]−=≠0,kn即：hn[]0