第2章线性时不变系统的时域分析(信号与系统)

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1、第二章线性时不变(LTI)系统的时域分析§2.1LTI的零状态响应求解§2.2卷积的运算§2.3卷积的性质—LTI系统的性质§2.4LTI系统的时间方程§2.5LTI系统的零输入响应求解§2.6单位冲激响应与单位样值响应§2.1LTI系统的零状态响应求解2.1.1零状态响应与零输入响应1、零状态响应yzs(t)[yzs(n)](ZeroState)：系统的起始状态为零，仅在输入信号作用下产生的输出响应。2、零输入响应yzi(t)[yzi(n)](ZeroInput)：系统的输入为零，仅由于起始状态的作用产生的输出响应。3、系统的全响应y(

2、t)[y(n)]，等于零状态响应与零输入响应之和：连续时间信号的冲激分解与零状态响应：2.1.2连续时间系统的零状态响应若线性时不变性系统在单位冲激作用下的零状态响应为h(t)，LTI系统则系统在信号x(t)作用下的零状态响应为y(t)：2.1.3离散时间信号的零状态响应：若线性时不变性系统在单位样值信号作用下的零状态响应为h(n)，LTI系统则系统在信号x(n)作用下的零状态响应为y(n)：离散时间信号的单位样值分解与零状态响应：§2.2卷积的运算一、卷积积分的运算例1：设求系统的零状态响应解：1、卷积积分运算有两点要注意：积分限的确定

3、和结果函数的定义区间。以上积分式中，积分变量是τ。式中的u(τ)u(t-τ)决定了积分的上下限，也确定了积分结果的定义区间。例2：设求系统的零状态响应解：以上积分式的积分的上下限为(1~t)，积分结果的定义区间为(1~∞)，所以后面要乘以u(t-1)。所以由于卷积是线性时不变系统，求零状态响应的一种运算，当然应该满足线性和时不变性。所以例2的结果，可根据例1由时不变性和线性得到。2、借助作图做卷积积分借助作被积函数的波形图做卷积积分，比较容易确定积分的上下限和结果函数的定义区间，特别是参加卷积的函数是分段连续的时候。例3：设试求：解：借助

4、作图的方法，求解卷积积分。卷积的积分式：先作出被积函数的图形当t<-1当-12借助作图求卷积积分的的步骤可归纳为：⑴将参加卷积积分的两信号的自变量t→τ;⑵将其中一个信号反褶，h(τ)→h(-τ)；⑶将反褶的信号平移，h(t-τ)；⑷求x(τ)与平移信号h(t-τ)的乘积；⑸求x(τ)h(t-τ)的定积分。二、卷积和若以x(n)作用于一零状态的线性时不变系统LTI系统y(n)就是系统的零状态响应:上式称为序列x(n)与y(n)的卷积和。例1：设求系统的零状态响应解：卷积和的运算与卷积积分类

5、似，要注意求和限的确定和结果序列的定义区间。例2：设求卷积和解：我们先借助作图的方法，求此卷积和。两序列的图形为：当n<0当n=0当n=1当n=2当n=3当n=4当n=5当n=6当n≥7所以对于这种两个短序列的卷积和，可以用称为“不进位乘法”的方法求解。如上例，1，2，3，2，1×1，2，3---------------------------------3，6，9，6，32，4，6，4，21，2，3，2，1---------------------------------1，4，10，14，14，8，3结果如上，表示为请仔细观察，三序列

6、间还有什么关系？！§2-3卷积的性质---LTI系统的性质卷积可以看成是LTI系统求零状态响应得到的一种运算，它的性质反映了LTI系统的性质。一、代数性质此性质对于卷积积分和卷积和均存在。1、交换律如：作变量代换：t-τ=λ，于是τ=t-λ，dτ=-dλ。上式交换律说明单位冲激响应为h(t)的LTI系统，在输入x(t)作用下的响应y(t)，等于单位冲激响应为x(t)，输入为h(t)作用下的LTI系统的响应。即利用交换律，可能使卷积的运算简便。2、分配律由交换律，分配率还可表示为：3、结合律由交换律二、卷积的微积分1、微分2、积分3、信号与

7、单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分例如：已知求系统的零状态响应：解：由上性质可知或者三、卷积和的相关性质1、卷积和的累加和设则2、序列与单位样值信号的卷积和3、序列与单位阶跃序列的卷积和§2.4LTI系统的时间方程一、LTI系统输入输出方程的建立已知系统的电路图，根据电器件的物理特性（元器件的约束条件）和电路定理（网络拓扑约束），可以建立系统的输入输出方程。连续时间LTI系统的输入输出方程，是一常系数线性微分方程。例如：电路如下，当t=0时开关由1至2，系统输出为电流，试列t>0时系统的方程。解：根据电路定理，可列回路电压方程：因为求的是回

8、路中的电流，根据元器件的约束：因为回路的输入电压所以，当t>0时当-∞＜t＜∞时系统方程只涉及到输入信号：e(t)与输出信号：i(t)，因此称其为输入输出方程。方程中各项的系数均是常数，且左边