第二章 线性时不变系统的时域分析

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1、第二章线性时不变系统的时域分析学习目标：(1)正确理解零输入响应、零状态响应、冲激响应和阶跃响应的基本概念；(2)能应用不同的方法求解零状态响应和冲激响应；(3)掌握用冲激响应卷积求解零状态响应的原理和方法(4)掌握用冲激响应表征系统的基本特性。基本内容：（1）系统的定义及表示（2）系统的基本性质（3）线性时不变系统的时域描述（4）零输入响应和零状态响应（5）单位冲激响应重点难点：（1）零状态响应的求解方法；（2）冲激响应的求解方法；一、系统的定义及表示系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。系统

2、模型：系统物理特性的数学抽象。系统的表示方法（1）数学表达式：系统物理特性的数学抽象。（2）系统框图：形象地表示其功能。数学表达式：微分方程和差分方程常用的系统描述方法是数学方程，包括有用于连续系统的微分方程和用于离散系统的从差分方程。列写系统的数学方程有两条基本依据：（1）系统内部元器件或子系统的连接关系（拓扑约束）；（2）另一条是元器件或子系统的电气特性（性能约束）。系统的框图表示法框图法就是用一个方框来表示一个系统或子系统，而方框中的符号表示输入和输出之间的关系:系统分类线性系统和非线性系统时不变系统和时变

3、系统因果系统和非因果系统稳定系统和不稳定系统我们主要讨论线性时不变系统。二、系统的基本性质系统的基本特性包括有线性、时不变性、因果性和稳定性等。1.线性如果系统的输入和输出之间满足叠加性和比例性，则该系统就是线性系统。叠加性比例性线性系统例1-17－例1-202.时不变性时不变性的含义是，如果系统的输入在时间上有一个平移t0，则由其引起的响应也产生一个同样的平移.例1-14－例1-163.因果性如果一个系统在任何时刻的输出只与系统当前时刻的输入和过去的输入有关，而与系统未来的输入无关，则这个系统就是因果系统。例1

4、-124.稳定性有界输入产生有界输出，则这个系统就是稳定系统。所谓有界，即输入或输出的最大幅值是一个有限值。例系统y[n]=nx[n]就是一个不稳定系统，因为，当输入x[n]是有界时，系统的输出却有界，它将随着n值的增加而增加，直至无穷。三、线性时不变系统的时域描述线性时不变系统也简称为LTI系统，其分析方法建立在信号分解的基础之上。线性时不变系统具有的线性和时不变性，其响应必然是系统对这些基本信号响应的组合。连续时间LTI系统用微分方程描述；离散时间LTI系统用差分方程描述。1.连续时间LTI系统的微分方程及其

5、求解对连续时间LTI系统，如果x(t)为输入，y(t)为输出，则描述输入和输出之间的微分方程为：这个常系数线性微分方程，其完全解由齐次解和特解两部分组成。齐次解是微分方程在输入为0时的齐次方程的解（式2.111）而特解则是在输入的作用下满足微分方程式(2.109)的解。对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次方程为特征方程为解此特征方程就可求得特征根。根据特征根是单根、重根、共轭复根，齐次解的形式也有所不同，一般有三种情况。⑴如果特征根a1、a2、···an都是单根，则齐次解的形式为⑵如果在特征根中，是k重特征

6、根am，则与am相对应的齐次解为:⑶如果特征根中有共轭复根，则共轭复根所对应的齐次解为:在上述三种齐次解中，Ci是待定系数，它的确定与特解有关。举例2.14常见激励信号的特解形式微分方程的特解与激励信号有关，根据不同的激励信号，特解也有不同的形式。几种常见的激励信号，特解的形式见表2.1所示。特解的求解过程一般是将表2.1中和激励信号相对应、并具有待定系数B的特解代入微分方程后求出待定系数B，这样也就求出了特解。微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系数则需要由方程给定

7、的初值来确定。为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为y(k)(0-)；而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系统的初始状态，记为y(k)(0+)，确定系统完全响应所需要的初值是初始状态y(k)(0+)，（系统的初始状态就是系统在t=0+时刻的响应）。微分方程的完全解、齐次解和特解是数学上的名词；在信号与系统的术语中，微分方程的解就是系统的响应。微分方程的完全解称为完全响应齐次解称为自由响应（与激励信号无关）特解称为强迫响应（和激励信号有关）完全响应＝自由响应＋强迫响应3.

8、离散时间LTI系统的差分方程求解（1）差分方程离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器或延迟器）、相加器和倍乘器，这些基本部件常用以下框图来表示：下图是一个简单的离散系统，它由一个延时器、一个相加器和一个倍乘器组成。根据图中各个部件的连接关系和各个部件的基本功能，写出该系统输入x[n]和输出y[n]之间的关系为：一阶差分方程N阶离散系统的差分方程为：离散系统差分方程的形式