006-材料力学_应力状态

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1、第六章应力状态与强度理论6.1应力状态的概念应力与点及截面方位有关。受力构件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。可用应力单元体来研究一点的应力状态。zxy六个独立的应力分量：dzdxdyxzynτσp第六章应力状态与强度理论6.1应力状态的概念单向应力状态可仅用某一方位微截面的正应力描述；纯剪切应力状态可仅由一对互垂微截面上的切应力描述。故对这两种应力状态下的点可分别按正应力或切应力建立强度条件，而无须涉及材料失效的原因。而对微截面既有正应力又有切应力的复杂应力状态，则必须找到能代表该应力状态的特征量，并结合材料失效的原因，才能建

2、立相应的强度条件。应力与点及截面方位有关。受力构件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。可用应力单元体来研究一点的应力状态。zxydzdxdy六个独立的应力分量：6.1应力状态的概念n若某一方位微面上的切应力为零，则称该面为主平面，主平面上的正应力称为主应力。任一应力状态至少有三对互垂的主平面，相应主应力分别记为：且xzyABCo若则实对称矩阵的特征值方程，有三个实根6.1应力状态的概念J1、J2、J3分别称为一点应力状态的第一、第二和第三不变量若即主平面互垂则若主应力有二重根，则与第三个主平面垂直的所有微面都是主平面，且相应主应力

3、相等，可取其中两个互垂的微面作为主平面。若主应力是三重根，则所有方位的微面都是主平面，且相应主应力相等，可取其中三个互垂的微面作为主平面。6.1应力状态的概念工程中的杆件内各点在忽略次要应力的情况下一般处于平面应力状态（单向应力状态可视为特殊的平面应力状态）。如果将三个坐标轴分别取为互垂的各主平面方向，则应力单元体的所有微面都是主平面，单元体仅有主应力，称为主单元体，是过一点所有单元体中最简洁的，能反映该点应力状态的本质特点。若一点的三个主应力都不为零，则称该点处于三向应力状态。如果只有两个主应力不为零，称为二向应力状态(平面应力状态)。仅有一个主应力不

4、为零，则称为单向应力状态(单轴应力状态)。6.2平面应力状态一、斜截面上的应力平面应力状态单元体可以用平面图形表示，由两对互垂微面上独立的三个应力分量就能完全确定该点应力状态。yxzyxnnt6.2平面应力状态ABRC6.2平面应力状态二、应力圆应力状态的几何描述分别以σ和τ为坐标轴的坐标平面内的圆。yxnEDHO圆周上的点与平面应力状态单元体斜截面一一对应，这个圆称为应力圆(莫尔圆)。应力圆的圆心在横坐标轴上，故只要知道任意两个截面上的应力，就可作出应力圆ABRC6.2平面应力状态三、主应力和主平面若yxEDO定义α0为σmax相应主平面与x截面的夹角

5、，则若若若若σmin相应主平面的方位为D`ABRC6.2平面应力状态三、主应力和主平面EDO最大和最小切应力所在截面相互垂直且与主平面的夹角为45o单向拉伸OO单向压缩O纯剪切例：已知平面单元体的应力状态如图。求：(1)α截面上的应力；(2)主应力及主平面方位；(3)最大切应力。60o(MPa)10040解：建立坐标系，有xy(1)求斜截面上的应力(2)求主应力和主平面方位得Dx(60,40)Dy(100,-40)CO602×60o例：已知平面单元体的应力状态如图。求：(1)α截面上的应力；(2)主应力及主平面方位；(3)最大切应力。(MPa)10060

6、40xy(2)求主应力和主平面方位得Dx(60,40)Dy(100,-40)CO-58.28o31.72o与相应主平面的方位为则与相应主平面的方位为(3)求最大切应力例：已知平面单元体的应力状态如图。(1)求α截面上的应力；(2)作应力圆。解：建立坐标系，有xy(1)求斜截面上的应力(2)作应力圆O应力圆收缩为一点(点应力圆)6.3三向应力状态简介n若一点处三个主应力都不为零，则该点为三向应力状态。可由微隔离体的平衡导出任意斜截面上的应力，取坐标轴分别与三个主平面方向一致，任意斜截面方位用其法向矢描述，则有oxzyABC若则同理，有可视为以l2、m2和n

7、2为未知量的联立方程组，求解可得：6.3三向应力状态简介Oc1c2c3三个互相相切的应力圆称为三向应力圆6.3三向应力状态简介时有等式成立时有等式成立时有等式成立Oc1c2c3xzyxzyxzynnnxzyn6.3三向应力状态简介Oc1c2c3xzy最大切应力所在平面与主应力σ2平行且与另两个主应力σ1、σ3所在的主平面互成45o夹角最大正应力最小正应力最大切应力例：已知一点的单元体应力状态如图。求：(1)求主应力；(2)作三向应力圆；(3)求最大切应力。80404030(MPa)xyz解：单元体前、后面为主平面；建立坐标系，有(主应力)(1)求主应力(

8、2)作三向应力圆(3)求最大切应力-30104.7215.28O(MPa)6.4