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1、离散时间信号与系统的频域研究二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。一.Z变换导出3.2.1Z变换的定义及收敛域二.对z变换式的理解1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域。2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。3.1.2几种序列的Z变换及其收敛域3.两种判定法a.比值判定法b.根值判定法4.讨论几种情况（2）右边序列的收敛例（3）左边序列的收敛例：（4）双边序列的收敛例：总结3.2逆Z变换一、定义：已知X(z)及
2、其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。逆Z变换方法重点难点开始结束幂级数展开法部分分式展开法围线积分法求Z反变换部分分式展开法围线积分法求Z反变换单位样值函数常见序列Z变换单位阶跃序列斜变序列的Z变换用间接方法求！同理可得指数序列其他逆Z变换一.幂级数展开法2.右边序的逆Z变换3.左边序列的逆Z变换二.部分分式展开法2.求逆Z变换的步骤例：解：3.极点决定部分分式形式高阶极点（重根）：例：解：三.围线积分法求Z反变换1.用留数定理求围线积分例题解：3.3Z变换的性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性例3-8已知,求其z变换。解：2
3、.序列的移位如果则有：例3-9求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：4.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：如果，则另一种形式：5.共轭序列如果，则证明：6.翻褶序列如果，则证明：7.初值定理证明：8.终值定理证明：又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理)证明：例3-10解：11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一
4、条逆时针单封闭围线。（证明从略）例3-11解：12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:*几点说明：3.4序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系一、Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想抽样信号，则序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此，;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部Ω相对应
5、。=0,即S平面的虚轴r=1,即Z平面单位圆；σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的单位圆内；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的单位圆外。→j→00(1)r与σ的关系Ω=0，S平面的实轴，ω=0，Z平面正实轴；Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线;ω=Ω0T,Z:始于原点的射线；ΩS:宽的水平条带，ω整个z平面.0jIm[Z]Re[Z](2)ω与Ω的关系（ω=ΩT）ω二、Z变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样
6、信号傅氏变换。用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数，ω表示Z平面的辐角，且。所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。3.5利用Z变换分析信号和系统的频域特性3.5.1传输函数与系统函数（1）对进行傅里叶变换得到一般称为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。（2）对进行Z变换，得到，一般称的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式为系统传输函数与系统函数的关系：与之间关系如下式：说明单位圆上的系统函数就是系统的传输函数。一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：∑
7、h(n)
8、<∞。z变换H(z)的收敛域由满足∑
9、
10、h(n)z-n
11、<∞的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有∑
12、h(n)
13、<∞，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为R+<
14、z
15、≤∞；而因果稳定系统的系统函数收敛域为1≤
16、z
17、≤∞，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。3.5.2利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性例3-12已知，分析其因果性和稳定性。的极点为，如图3-15所示。(1)收敛域，对应的系统是因果系统，，对应的系统是非因果且不稳定，对应的系统是一个
