2014年天津市大学数学竞赛(经济管理类).doc

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1、一、填空1.=_________________________.2.设函数在的某领域内具有一阶连续导数.若,则=________________.3.设函数,是的反函数，则=__________.4.设函数在区间上连续且单调增加，.若，则=____________________.5.设,则=______________________.二、选择1.设函数在处连续，下列结论错误的是（）（A）若存在，则.(B)若存在，则.(C)若存在，则存在.(D)若存在，则存在.2.若函数可微且，则=（）（A）.(B)1

2、.(C).(D)2.3.设函数在区间上连续，其图形如下图所示.若，则（）Oyxba（A）函数在上单调增加.(B)函数在内有极小值.(C)函数在内有极大值.（D）函数的图形在内无拐点.4.设二元函数,其中函数具有二阶导数,函数具有一阶导数,则()(A).(B).(C).(D).5.若函数有一个唯一的极大值,则常数应满足()(A).(B).(C).(D)上述结论都不正确.一、（本题6分）设在区间上是一个正值可微函数.对任意，求极限.二、（本题6分)设函数对任意实数和满足方程.又设.(1)求；（2）求.三、（本题

3、6分）求.四、（本题7分）设和都为正数.证明：两个数和不可能同时都大于.五、（本题7分）设函数在区间上可导，且满足.证明：至少存在一点，使得.六、（本题7分）设函数，其中为参数.对任意的，记为函数在闭区间上的最小值，求的表达式.七、（本题7分）设，其中具有二阶连续偏导数，二阶可导，求及.一、（本题8分）计算（1）；（2）二重积分，其中.二、（本题8分）一变压器的铁心截面为对称正十字形（如图所示，在第一象限内，).设十字形外接圆的半径为，边长所张的圆心角为（）.问当为何值时，该十字形铁心截面的面积最大？并求其

4、最大面积.十二、（本题8分）如图，一只山羊被一条长为的绳子拴在半径为的圆形水池边上的点处，水池被草地环绕着.因水池被栅栏所围，山羊不能穿越水池，但绳子可环绕在栅栏上，使山羊到达尽可能的远处（注意：在第一象限内，山羊可吃到草的区域是由点为中心为半径的上半圆，曲线及轴围成.上的任意点满足条件：过点作圆的切线，若切点为，则的长等于圆弧的长.)求山羊可吃到草的草地面积.E2RDCBAO