2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）

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1、2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若是上的连续函数，则a=0。2．函数在区间上的最大值为。3．。4．设区域，则。5．设函数由方程所确定，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。2．设函数f(x)在

2、点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。3．曲线（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。4．曲线与x轴所围成的平面图形的面积为（D）（A）；（B）；（C）；陆（D）。1．设D是xoy平面上以点(1,1)，(－1,1)和(－1,－1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则(B)（A）；（B）；（C）；（D）0。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且，，求。（本题6分）解：由题设

3、可推知f(0)=0，，于是有。故。四、设函数由参数方程所确定，求。（本题6分）解：由，，得到，所以。而当x=9时，由及t>1，得t=2，故。五、设n为自然数，计算积分。（本题7分）解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又，陆于是有，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、计算，其中k为常数。（本题6分）解：当k<1时，。当k≥1时，。故：七、已知曲面方程为(x>0，y>0，z>0)，则⑴在曲面上求一点，使其到原点的距离最小；⑵写出该点处的切平面方程。（本题8分）解：⑴因为要求已知曲面到原点的最

4、近点，故可命：，则⑴中提出的问题就是在约束条件=0下，求的最小值点。记Lagrange函数为。根据Lagrange乘数法，条件极值问题的极值点应满足由，得到陆解得。由于x>0，y>0，z>0，故有唯一的驻点，由题意可知也是唯一的最小值点。注：⑴学生解到这里就可以了。⑵事实上，通过计算知，。因此，点是曲面到原点的最近点。根据点是一个最近点，就可知，，都是曲面到原点的最近点。⑵由于，所以曲面在点处的切平面方程为。即。八、设函数连续，且，其中D为由y=0，，x=1围成的区域，求。（本题7分）解：设，则，从而，故，于是。九、设f(r)在[0，1]上连续，则。（本题7分）证

5、明：在极坐标下将原二重积分化为二次积分，有，陆不妨设，于是有，注意到：，于是由夹逼定理可知要证结论成立。十、设f(x)在闭区间[0,1]上连续，f(0)=f(1)，证明：对于任意给定的整数n>2，必存在使得。（本题8分）证明：命。只需证明在区间上至少存在一点，使得。首先注意到在区间上连续。下面用反证法，若这种不存在，则在区间上不变号，不妨假设，，则，，……，，从而有，这显然与题设f(0)=f(1)矛盾，所以必存在使得。对，可类似证明。十一、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。（本题7分）证

6、明：因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A≠0；又因f(x)为奇函数，所以。陆命：则在x=0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数。当x>0，则－x<0，；当x<0，则－x>0，,即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又，即，所以是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。十二、设常数，证明：当x>0且x≠1时，。（本题8分）证明：设函数，故要证，只需证：当；当。显然：。命：，则。当x=2时，，x=2为唯一驻点。又，，所以x=2为的唯一极小值点，故为的最小值(x>0)，即当x>0时，从而严格单调递增。又因，所以当；当。陆