2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案(经济管理类)

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1、2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案(经济管理类)一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)1.若是上的连续函数,则a=0。2.函数在区间上的最大值为。3.。4.设区域,则。5.设函数由方程所确定,则。二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)1.设函数f(x)可导,并且,则当时,该函数在点处微分dy是的(A)(A)等价无穷小;(B)同阶但不等价的无穷小;(C)高阶无穷小;(D)低阶无穷小。2.设函数f(x)在

2、点x=a处可导,则在点x=a处不可导的充要条件是(C)(A)f(a)=0,且;(B)f(a)≠0,但;(C)f(a)=0,且;(D)f(a)≠0,且。3.曲线(B)(A)没有渐近线;(B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;(C)有一条铅直渐近线;(D)有两条水平渐近线。4.曲线与x轴所围成的平面图形的面积为(D)(A);(B);(C);陆(D)。1.设D是xoy平面上以点(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则(B)(A);(B);(C);(D)0。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数,且,,求。(本题6分)解:由题设

3、可推知f(0)=0,,于是有。故。四、设函数由参数方程所确定,求。(本题6分)解:由,,得到,所以。而当x=9时,由及t>1,得t=2,故。五、设n为自然数,计算积分。(本题7分)解:注意到:对于每个固定的n,总有,所以被积函数在x=0点处有界(x=0不是被积函数的奇点)。又,陆于是有,上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有。所以。六、计算,其中k为常数。(本题6分)解:当k<1时,。当k≥1时,。故:七、已知曲面方程为(x>0,y>0,z>0),则⑴在曲面上求一点,使其到原点的距离最小;⑵写出该点处的切平面方程。(本题8分)解:⑴因为要求已知曲面到原点的最

4、近点,故可命:,则⑴中提出的问题就是在约束条件=0下,求的最小值点。记Lagrange函数为。根据Lagrange乘数法,条件极值问题的极值点应满足由,得到陆解得。由于x>0,y>0,z>0,故有唯一的驻点,由题意可知也是唯一的最小值点。注:⑴学生解到这里就可以了。⑵事实上,通过计算知,。因此,点是曲面到原点的最近点。根据点是一个最近点,就可知,,都是曲面到原点的最近点。⑵由于,所以曲面在点处的切平面方程为。即。八、设函数连续,且,其中D为由y=0,,x=1围成的区域,求。(本题7分)解:设,则,从而,故,于是。九、设f(r)在[0,1]上连续,则。(本题7分)证

5、明:在极坐标下将原二重积分化为二次积分,有,陆不妨设,于是有,注意到:,于是由夹逼定理可知要证结论成立。十、设f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)=f(1),证明:对于任意给定的整数n>2,必存在使得。(本题8分)证明:命。只需证明在区间上至少存在一点,使得。首先注意到在区间上连续。下面用反证法,若这种不存在,则在区间上不变号,不妨假设,,则,,……,,从而有,这显然与题设f(0)=f(1)矛盾,所以必存在使得。对,可类似证明。十一、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数,x=0为其第一类跳跃间断点,证明是连续的偶函数,但在x=0点处不可导。(本题7分)证

6、明:因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点,所以存在,设为A,则A≠0;又因f(x)为奇函数,所以。陆命:则在x=0点处连续,从而在上处处连续,且是奇函数。当x>0,则-x<0,;当x<0,则-x>0,,即是连续的奇函数,于是是连续的偶函数,且在x=0点处可导。又,即,所以是连续的偶函数,但在x=0点处不可导。十二、设常数,证明:当x>0且x≠1时,。(本题8分)证明:设函数,故要证,只需证:当;当。显然:。命:,则。当x=2时,,x=2为唯一驻点。又,,所以x=2为的唯一极小值点,故为的最小值(x>0),即当x>0时,从而严格单调递增。又因,所以当;当。陆

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