天津市大学数学竞赛试题参考答案

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1、2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）三、求极限（本题6分）解：；；；由此得到：四、求星形线，在处的切线与Ox轴的夹角（本题6分）解：，，故，即倾角α的正切tgα=1，于是得到切线与Ox轴的夹角。五、已知方程定义了函数，求。（本题7分）解：,六、计算（本题6分）解：命：，于是七、计算。（本题7分）解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到第14页。九、已知a>0，x1>0，定义求证：存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列的极限存在：注意到：当n≥2时，≥，因此数列有下界。又≤，即xn+1≤x

2、n，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。第二步：求数列的极限设：，则有≥.由，有，解得（舍掉负根），即。十、证明：当x>0时，。（本题7分）证明：设（x>0），则即在区间（0,+∞）上函数y单调递减，又，所以（x>0），即。十一、设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）证明：由积分中值定理知，存在，使得.又函数在区间上连续,内可导,由罗尔定理知,至少存在一点，使得。十二.设在区间上具有二阶导数,且,,.证明（本题8分）证明：对任意的，及任意的h>0，

3、使x+h∈(a，+∞)，于是有，其中,即故，（，h>0）.命，试求其最小值。第14页命，得到，，所以，在处得极小值，亦即最小值，故，（）。2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）一、填空：（本题15分，每空3分。）1.。2.设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。3.。4.设，则。5．将二重积分变换积分次序得I=。二、选择题：（本题15分，每小题3分。）1.曲线的渐近线有（B）（A）1条；（B）2条；（C）3条；（D）4条。2.若，则当n>2时（A）（A）；（B）；（C）；（D）3.已知函数f(x)在（－∞，+∞）内有定义，

4、且x0是函数f(x)的极大值点，则（C）（A）x0是f(x)驻点；（B）在（－∞，+∞）内恒有f(x)≤f(x0)；（C）－x0是－f(－x)的极小值点；（D）－x0是－f(x)的极小值点。4.设，则z=z(x,y)在点（0，0）（D）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在；（D）不连续但偏导数存在。5.设D为由折线所围成的区域，D1，D2，D4为D在第1、2、4象限部分，则（D）（A）；（B）；（C）；（D）三、已知极限，试确定常数n和C的值。（本题6分）第14页解：，故。四、已知函数f(x)连续，，求

5、。（本题6分）解：命u=t－x，则当t=0时，u=－x；t=x时，u=0，于是五、设方程，⑴当常数a，b满足何种关系时，方程有唯一实根？⑵当常数a，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）解：设，－∞

6、8分）解：⑴设A点坐标为(x0，y0)，则y0=x02，于是可知切线方程:y―x02=2x0（x―x0）即由题设，有,故有。⑵切线方程为。⑶在上述切线方程中命y=0，得到，故所求旋转体的体积第14页七、计算。（本题7分）解：解法1命，则有，于是有。同理，所以有。解法2命，则八、设，其中具有连续的一阶偏导数，且。（本题7分）解：将y=sinx代入，得到，显然方程确定了z是x的隐含数z=z(x)，所以又由,得到九.设某工厂生产A、B两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y（单位为吨）时总收益函数为（万元）,已知生产产品A时，每吨需支付排污费

7、1万元；生产产品B时，每吨需支付排污费2万元。若要限制排污费为14万元，试问这两种产品的产量各为多少时，工厂的总利润最大？最大总利润为多少？（7分）解：问题化为在条件x+2y=14下，求利润函数的最大值。设，命解得唯一驻点x=6，y=4。因驻点唯一，且实际问题存在最大值，故当x=6，y=4时，工厂获得最大利润。此最大利润为万元。十、计算，其中区域D为：。（本题7分）解：把区域D划分为D1，D2，D3，其中第14页在D1上；在D2上；在D3上。故十一、证明：当0

8、区间(0,1)内单调减少，而，故当x>0时，因而在区间(0,1)内单调减少，即，于是有，即。十二、已知函数在区间[0,2a]（a>0）上连续，⑴证明；⑵计算。（本题8分）⑴证明：要证原等式，只需证；事实上原