2009天津市大学数学竞赛试题

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1、2009年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.。2.设，则使存在的最大n=。3.。4.设，，若与OZ轴垂直，则λ=。5.设L为正向圆周在第一象限中的部分，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.函数的第一类间断点的个数为（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。2.设与具有任意阶导数，且，，，则（）。（A）为函数的极小值；（B）为函数的极大值；（C）点（0,

2、1）为曲线的拐点；（D）极值与拐点由确定。3.设函数，，又与都不存在，则下列结论正确的是（）。（A）若不存在，则必不存在；（B）若不存在，则必存在；（C）若存在，则必存在；（D）若存在，则必不存在。4.设具有2阶连续偏导数，，，。若是由方程所确定的在点附近的隐函数，则是的极小值点的一个充分条件为（）（A）；（B）；5（C）；（D）。5.设L为折线的正向一周，则（）。（A）－2sin2；（B）－1；（C）0；（D）1。三、设函数⑴a为何值时，在x=0点处连续；⑵a为何值时，x=0为的可去间断点。（本题7分）解：四、设（n为正整数），⑴求在闭区间[0,1]上的最大值

3、M（n）；⑵求。（本题7分）解：5五、计算。（本题6分）解：六、设对任意x，都有，且在x=0点处连续，，证明：在x=0点处也连续。（本题6分）证明：七、设，，计算。（本题7分）解：八、在椭球面上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。（本题7分）解：5九、设为连续函数，求证，其中。（本题7分）证明：十、设函数在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且，，。证明：存在一点ξ∈（a,b）使得。（本题7分）证明：十一、设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：。（本题8分）证明：，5十二、计算曲面积分，其中Σ为空间区域边界曲面的外侧。（本题8分）解：5