2008年天津市大学数学竞赛试题new

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1、2008年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.设f(0)>0，，则。2.设函数由方程所确定，则曲线上对应于x=0点处的切线方程为。3.。4.函数在点M(1,1,1,)处，沿曲面在该点的外法线方向的方向导数。5.设函数在区域上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.设当时，是比高阶的无

2、穷小，而是比高阶的无穷小，则n等于（）（A）4；（B）3；（C）2；（D）1。2.设是单调增的正数列，则数列（）（A）当时收敛；（B）当时收敛；（C）对任意均收敛；（D）对任意均发散。53.设，则函数在点a处必（）（A）取极大值；（B）取极小值；（C）可导；（D）不可导。4.设函数在点处有，则下列结论正确的是（）（A）存在，但在点处不连续；（B）在点处连续；（C）；（D）都存在，且相等。5.设S为球面：，其取外侧为，则两个曲面积分全为零的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、对t的不同取值，讨论函数在区间上是否有最大

3、值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分）解：四、设，其中，讨论函数在区间内零点的个数。（本题7分）解：5五、过曲线上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积。⑴求点A的坐标；⑵求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分）解：。六、设函数，其中是连续函数，且。⑴求；⑵讨论的连续性。（本题7分）解：七、设函数在闭区间上具有连续的导数，，且。⑴求；⑵证明。（本题7分）⑴解：5⑵证明：。八、设二元函数具有二阶连续偏导数，证明：可经过变量替换化为等式。（本

4、题6分）证明：九、求λ的值，使两曲面：与在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（本题8分）解：十、计算三重积分，其中Ω是由yoz平面内z=0，z=2以及曲线所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。（本题7分）解：5十一、计算曲线积分，其中曲线C：是从点A(－1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分）解：十二、求证。（本题6分）证明：5