天津市大学数学竞赛历年试题及答案

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1、天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）(人文学科及医学等类)一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。）1．.2．3．=.4．5．切线方程为.1．32.-1/ln23.2e24.5．二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是(A).(A)；(B)；(C)；(D).2.D3.B4.B5.C解：令2．设函数具有一阶导数，下述结论正确的是(D)。(A)若只有一个零点，则必至少有两个零点；反例：y=2x(B)若至少有一个零点，则必至

2、少有两个零点；反例：y=x2(C)若没有零点，则至少有一个零点；反例：y=2+sinx(D)若没有零点，则至多有一个零点。罗尔定理3.设是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）-f（x）>0恒成立，若a>b>0，则必有(A)af(a)

3、则称x0为函数f(x)的第一类间断点(discontinuitypointofthefirstkind)。　　在第一类间断点中，左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。　　非第一类间断点即为第二类间断点(discontinuitypointofthesecondkind)。，x=0为第一类间断点5．设函数具有一阶导数，是曲线的拐点，则(C).(A)必是的驻点；考虑函数(B)必是的拐点；考虑函数(C)必是的拐点；可结合图形考虑,如(D)对任意与，的凹凸性相反。凹凸性仅在x0的某个领域内考虑三、四、已知曲线与曲线在点(0,0)处具有相同的切线,写出该切线方程,

4、并求极限五、设函数在区间(0,+∞)内有定义，且对任意x,y∈(0,+∞)都有，又存在且等于，试讨论在任意x∈(0,+∞)时的可导性，并求。六、设七、设当时，且试确定常数的值，使在点处可导，并求此导数。八、求抛物线弧段上一点，使此点的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，并求此最小面积值。九、设函数连续，且当时，求。十、证明：十一、证明：当时，天津市大学数学竞赛历年试题（1）（人文学科及医学等类）一、填空：1．32.-1/ln23.2e24.5．二、选择题：1.A2.D3.B4.B5.C三、由积分中值定理有于是四、由已知,显然有且在点(0，0)处因此，所求切线方程

5、为y=x。五、命：，则由得。故当时，有六、利用牛顿—莱布尼兹公式：设注意到故于是有七、首先写出在附近的表达式：时，。由知，故有显然，在点处连续，且，因在点处可导的冲要条件为：，即八、过抛物线上的点的切线方程为：当时，切线在y轴上的截距为：当时，切线在x轴上的截距为：为求题目所述面积最小，只需求上述切线与二坐标轴所围直角三角形面积最大，而此三角形面积故设命：是的唯一驻点，从而也是唯一最大值点，即过点的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，其最小面积为九、命，则，故原等式左端为，即，对上式两边积分得注意到:，故。即，两边求导，得.十、利用分部积分公式，有由此可见，由夹

6、逼定理即得所证。十一、设，，。又设：，则。由拉格朗日中值定理知，存在，使，而，又，故。从而，当时，，即单调减少，从而。命题得证。