天津市大学数学竞赛历年试题及答案(11)

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1、天津市大学数学竞赛历年试题及答案(1)(人文学科及医学等类)一、填空:(请将最终结果填在相应的横线上面。)f(X)与为丰协无354bBhlim=l,lim=lim"TOg(x)5g(x)"TOa(sinx)2」limcosxxtOsinlimxtOlimxtO3兀2+4工'cosa(sin兀F2asisina(sin工y3x2+4x3*sinxcosx6x+12x2COS兀2acosx_a==i32asinx..limr=limxto6x+12xgo6+24x=2^udeu=2iiell-^elldu4.iftrcujwatsfc=rmmg=^-=f'(x2)2X,窘=厂(丹宀

2、2广(〒),dxax■5・ifiASv=%$+3尸-5.,■其上垂■于直维Zx-6y+l=aflB切线方程为.1.32.-l/ln232&4.Z尸酥巴尸5.加中y+6=0切线的斜率为-3,而/=3x2+6工,令/=-3,得x=-l,BPj%=_i=-3,x=一1时,y=-3切线方程:y+3=-3(x+l)即3x+y+6=0二、选择题:(每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)1.设函数/(兀)连续,则下列函数中必为偶函数的是(A).(A)Q+曲;(B)Q一代Y)](ft;(C)附代号弧(D)Q口

3、卯您2.D3.B4.B5.C解."F(x)=£+F(-兀)=「/[/(/)+/(—/)畅订(-巧[/(-巧+/讪(-u)=("[/(-")+/*(")加=]:心(-°+")]*=F(x)2.设函数/(兀)具有一阶导数,下述结论正确的是(D)o(A)若./*(兀)只有一个零点,则.厂(x)必至少有两个零点;反例:y=2x(B)若fx)至少冇一个零点,则/(X)必至少冇两个零点;反例:y=x2(C)若/(x)没有零点,则f(x)至少有一个零点;反例:y=2+sinx(A)若f(兀)没有零点,则.f(x)至多有一个零点。罗尔定理1.设/(兀)是定义在(0,+8)上的非负可导函数,冃满足灯

4、(x)-f(x)>Q恒成立,若a>b>0,则必有(A)af(a)xf{a);(B)bf(x)>xf(b);(C)xf(x)>bf(b);(D)xf(x)>af(a)。令砂=虫,叫)=也幻©兀L-”G)7(o)]■p灯'(工)一对《)_工[广(兀)一广(§)]=p=P(Ovgvx)乂广'(工)V0,故厂(兀雇严格减少函数,广(x)v广(0,F'(x

5、)v0,F(x)严格单调减少,F(x)

6、2/(兀)223xxXX=也+二[/(小讥)]XX=r«+^[(/(x)_/(o))_xr(x)]XX=-+$[恥)-

7、ntofthefirstkind)o在第一类间断点中,左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点。非第一类间断点即为第二类间断点(discontinuitypointofthesecondkind)。fiex+etanxlim/(x)=lim-xtO'zx->0(i、xex-eex+elimxtOex-elim/(x)=oo,x->—1=X=0为第一类间断点xtO1exX2lim/(兀)=00,X->15.设函数/(x)具有一阶导数,(x0,/(x0))任。工0)是曲线y=.f(Q的拐点,则(C).(A)兀()必是f(兀)的驻点;考虑函数j=e-x2(B)(-x0,-/(-

8、x0))必是y=~f(x)的拐点;考虑函数(C)(x0,-/(x0))必是y=-fx)的拐点;可结合图形考虑,如j=(x-l)3(D)对任意x<兀。与x〉兀。,歹=/(^)的凹凸性相反。凹凸性仅在xO的某个领域内考虑四、已知曲线y=/(兀)与曲线毗I,成在点(o,())处具有相同的切线,写出该切线方程,并求极限五、设函数.f(x)在区间(0,+8)内有定义,且对任意兀yW(0,+8)都有/(xy)=/(x)+/(y),乂/(I)存在且等于a,试讨论/(x

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