大学生数学竞赛(天津市)试题参考及答案.doc

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1、2006年天津市大学数学竞赛试卷参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若是上的连续函数，则a=－1。2．函数在区间上的最大值为。3．。4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为。5．设函数由方程所确定，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（

2、C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。2．设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。3．曲线（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。7/71．设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D）（A）若，则；（B）若，则；（C）若，则；（D）若，则。2．设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（B）（A）；（B）；（C）；（D）。三、设函数f(x)具

3、有连续的二阶导数，且，，求。（本题6分）解：由题设可推知f(0)=0，，于是有。故。四、设函数由参数方程所确定，求。（本题6分）解：由，，得到，所以。而当x=9时，由及t>1，得t=2，故7/7。五、设n为自然数，计算积分。（本题7分）解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又，于是有，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。（本题7分）证明：因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点

4、，所以存在，设为A，则A≠0；又因f(x)为奇函数，所以。命：则在x=0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数：当x>0，则－x<0，；当x<0，则－x>0，,即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又，7/7即，所以是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，证明：。（本题7分）解：设：，则类似可得，代入原式左边，得到八、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，求：。（本题7分）解：记，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有于是有7/7。九、计算，其中L为正向一周。（本题7分）

5、解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；当时，；当时，，故D的面积为2×1=2。从而。十、⑴证明：当充分小时，不等式成立。⑵设，求。（本题8分）证明：⑴因为，又注意到当充分小时，，所以成立不等式。⑵由⑴知，当n充分大时有，，故，而，于是7/7，由夹逼定理知。十一、设常数，证明：当x>0且x≠1时，。（本题8分）证明：设函数，故要证，只需证：当；当。显然：。命：，则。当x=2时，，x=2为唯一驻点。又，，所以x=2为的唯一极小值点，故为的最小值(x>0)，即当x>0时，从而严格单调递增。又因，所以

6、当；当。十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R，求此半球壳对棒的引力。（本题7分）解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：记。在球坐标下计算，得到7/7若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则。7/7