2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案

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1、智浪教育--普惠英才文库2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．3。2．设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为。3．设函数连续，则。4．设函数f和g都可微，，，则。5．。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．函数在闭区间[1,2]上具有二阶导数，，，则在开区间(1,2)内(B)（A）没有零点；（B）

2、至少有一个零点；（C）恰有两个零点；（D）有且仅有一个零点。2．设函数与在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，⑴若，则；⑵若，则。则（A）（A）两个命题均不正确；（B）两个命题均正确；（C）命题⑴正确，命题⑵不正确；（D）命题⑴不正确，命题⑵正确。3．设常数，在开区间内，恒有，记，则（C）(A)I<0；(B)I=0；(C)I>0；(D)I非零，且其符号不确定。4．，则在x=a处（D）（A）导数存在，且；（B）导数不存在；（C）取得极小值；（D）取得极大值。贰拾肆智浪教育--普惠英才文库1．累次积分可

3、以写成（D）（A）；（B）；（C）；（D）。四、设在上可导，，其反函数为，若，求：。（本题6分）解：命，则，于是。将等式两边同时对x求导，同时注意到，于是有，当时，有。对上式两端积分，得到由在x=0处连续，可知；又，解得C=0，于是。五、计算。（本题6分）解：方法一贰拾肆智浪教育--普惠英才文库方法二六、设闭区域D：。为D上的连续函数，且，求：。（本题7分）解：设，于是有，等式两边计算区域D上的二重积分，得，即，于是，所以。故。九、证明。（本题8分）证明：方法一（利用积分估值定理）命，贰拾肆智浪教育--普惠

4、英才文库对上式右端的第二个积分，取变换，则，于是注意到：被积函数的两个因子在区间上异号（，），由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）命，由积分中值定理，并在区间上取变换，同时注意到：，得十、设正值函数在闭区间[a,b]上连续，，证明：。（本题8分）证明：化为二重积分证明。记，则原式贰拾肆智浪教育--普惠英才文库利用了e#>=1+X(由e#的幂级数展开式可得)十一、设函数在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得。（本题7分）证明：将函数在点处作

5、泰勒展开，并分别取x=a和b，得到；。两式相加得到贰拾肆智浪教育--普惠英才文库。由于连续，由介值定理知，存在使得，从而得，即。十二、设函数在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，，且，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得。（本题8分）证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数应用拉格朗日中值定理；。注意到：，因此，。命：，则在区间[-2,2]上可导，且构造新函数；；。故在闭区间上的最大值，且。由弗马定理知。而，贰拾肆智浪教育--普惠英才文库故。由于，所以，从而。2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案一

6、、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若是上的连续函数，则a=－1。2．函数在区间上的最大值为。3．。4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为。5．设函数由方程所确定，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；

7、（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。2．设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。3．曲线（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。4．设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D）贰拾肆智浪教育--普惠英才文库（A）若，则；（B）若，则；（C）若，则；（D）若，则。1．设曲面的上侧，则

8、下述曲面积分不为零的是（B）（A）；（B）；（C）；（D）。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且，，求。（本题6分）解：由题设可推知f(0)=0，，于是有。故。五、设n为自然数，计算积分。（本题7分）解：注意到：对于每个固定的n，总有，无穷小代换所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又，于是有，贰拾肆智浪教育--普惠英才文库上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、设f(x)