2010年天津市大学数学竞赛试题

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1、2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.设，则。2.已知的一个原函数为，则。3.。4.设a，b为非零向量，且满足（a+3b）⊥（7a–5b），（a–4b）⊥（7a–2b），则a与b的夹角为。5.根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量的估计公式为（单位：十亿桶/年）：，式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为：，则自1995年至2015年共节省原油。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选

2、错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.设函数其中是有界函数，则在点处（）。（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。2.设曲线的极坐标方程为，则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。3.设函数连续，则（）。（A）；（B）；（C）；（D）。4.设为一函数的全微分，则下面正确的答案为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5.设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（）。（A）；（B）；（C）；（D）。三、计算。（本题7分）四、设，求。（本题6分）五、对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。

3、（本题7分）六、设a，b均为常数且，，问a，b为何值时，有。（本题7分）七、设，，证明：存在并求其值。（本题8分）八、设是区间上的函数，且，，证明：，。（本题7分）九、设是由所确定的二元函数，求：，。（本题6分）十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）十一、计算，其中Σ为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）十二、在曲面上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。（本题8分）