2001天津市大学数学竞赛试题参考答案(经济管理类).doc

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1、2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1.函数在（-∞，+∞）上连续，则a=2。2.设函数y=y(x)由方程所确定，则。3.由曲线与x轴所围成的图形的面积A=。4.设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则。5．已知，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.若且，则（D）（A）存在；（B）（C）不存在；（D）A、B、C均不正

2、确。2.设，，则当时，（A）（A）与为同阶但非等价无穷小；（B）与为等价无穷小；（C）是比更高阶的无穷小；（D）是比更低阶的无穷小。3.设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则在x=1处（D）（A）不可导；（B）可导，且；（C）可导，且；（D）可导，且。4.设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s>0，t>0，则I的值（C）（A）与s和t有关；（B）与s、t及x有关；（C）与s有关，与t无关；（D）与t有关，与s无关。陆5.设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（B）。（A）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D

3、的内部；（B）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（C）u(x，y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u(x，y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、求极限。（本题6分）解：；；；由此得到：。四、求星形线，在处的切线与Ox轴的夹角。（本题6分）解：，，陆故，即倾角α的正切tgα=1，于是得到切线与Ox轴的夹角。五、已知方程定义了函数，求。（本题7分）解：六、计算。（本题6分）解：命：，于是。七、计算。（本题7分）解：先

4、从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到。陆八、某工厂计划投资144（百万元）用于购进A、B两种生产线，A生产线每套售价4（百万元），B生产线每套售价3（百万元）。若购进x套A生产线和y套B生产线，可使该厂新增年产值（百万元）问该厂应当分别购进A、B两种生产线个多少套，能使该厂新增年产值最大，并求此最大值。（本题8分）解：构造，则其中由(1)、(2)得(4)与(5)相乘，得到（因λ<0）(6)(6)代入(5)，得到(7)代入(3)，得到y=12(8)(8)代入(7)，得到x=27注意到，函数F仅有唯一的驻点(27，12)，且根据问题的实际意义

5、可知一定存在最大值，故最大值必在驻点处取得，即分别购进A型生产线27套和B型生产线12套可使新增年产值最大，且新增年产值的最大值为maxL=36（百万元）。九、已知a>0，x1>0，定义求证：存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列的极限存在：陆注意到：当n≥2时，≥，因此数列有下界。又≤，即xn+1≤xn，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。第二步：求数列的极限设：，则有≥。由，有，解得（舍掉负根），即。十、证明：当x>0时，。（本题7分）证明：设（x>0），则即在区间（0，+∞）上函数y单调递减，又，所以（x>0），即。十一、设函数在闭区

6、间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）证明：由积分中值定理知，存在，使得陆又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使得。十二、设在区间上具有二阶导数，且，，。证明。（本题8分）证明：对任意的，及任意的h>0，使x+h∈(a，+∞)，于是有，其中。即故，（，h>0）命，试求其最小值。命，得到，，所以，在处得极小值，亦即最小值，。故，（）。陆