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《2001年天津市大学数学竞赛试题(理工类)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（每小题3分）1．设则.2．设函数由方程所确定,则.3．由曲线与轴所围成的图形的面积.4．设为闭区间上使被积函数有定义的点的集合,则.5．设是顺时针方向的椭圆其周长为,则.二、选择题：（每小题3分）1.若且则（）（A）存在；（B）；（C）不存在；（D）均不正确.2．设则当时,（）（A）与为同阶但非等价无穷小；（B）与为等价无穷小；（C）是比更高价的无穷小；（D）是比更低价的无穷小.3．设函数对于任意都满足且其中均为非零常数,则在处（）17（A）不可导；
2、（B）可导,且；（C）可导,且；（D）可导,且.4．设为连续函数,且不恒为零,其中则I的值（）.（A）与和有关；（B）与、及有关；（C）与无关,与有关；（D）与有关,与无关.5．设在有界闭区域上具有二阶连续偏导数,且满足及则（）.（A）的最大值点和最小值点都在区域的内部；（B）的最大值点和最小值点都在区域的边界上；（C）的最大值点在区域的内部,最小值点在区域的边界上；（D）的最小值点在区域的内部,最大值点在区域的边界上.三、（6分）求极限四、（6分）计算五、（6分）设函数的所有二阶偏导数都连续,且求.六
3、、（7分）在具有已知周长的三角形中,怎样的三角形的面积最大？七、（8分）计算八、（7分）计算曲面积分17其中为上半球面的上侧.九、（8分）已知定义,求证：存在,并求其值.十、（7分）证明不等式.十一、（7分）设函数在区间上连续,在开区间内可导,且,求证：开区间内至少存在一点,使得十二、（8分）设函数在区间上有二阶导数,且证明.2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空：（每小题3分）1．.2．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为.3．.4．设在点处沿方向的方向导数.5．设为曲面介于的部分,则.1
4、7二．选择题：（每小题3分）1．下列函数中为偶函数的是（）.（A）；（B）（C）；（D）.2．设,则当时（）.（A）；（B）；（C）；（D）.3．已知函数在内有定义,且则是的极大值,则（）.（A）是的驻点；（B）在内恒有；（C）是的极小值点；（D）是的极小值点.4．设,则在点处（）.（A）连续且偏导数存在；（B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在；（D）不连续但偏导数存在.5．设其中则（）（A）（B）（C）（D）三、（6分）已知极限试确定常数和的值.17四、（6分）已知函数连续,求.五．（7分）设
5、方程,(1)当常数满足何种关系时,方程有唯一实根？(2)当常数满足何种关系时,方程无实根.六、（8分）在曲线某点作一切线,使之与曲线及所围成图形的面积为,试求：（1）点的坐标；（2）过切点的切线方程.（3）该图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.七、（7分）计算八、（7分）设其中具有连续的一阶偏导数,且求九、（7分）求在上的最大值与最小值.十、（7分）计算,其中区域十一、（7分）证明：当时,.十二、（8分）设是取正向的圆周17是正的连续函数,证明：2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、（每小题３分）
6、填空：1．设对一切实数恒有,且知则.2．设在处连续,则.3．设其中是由方程所确定的隐函数,则.4．.5．曲线在点处的切线方程为.二、（每小题３分）选择题6．当时,下列无穷小量①②③④从低阶到高阶的排列顺序为（）（A）①②③④；（B）③①②④；（C）④③②①；（D）④②①③.7．设在处有最高阶导数的阶数为（）17（A）1阶；（B）2阶；（C）3阶；（D）4阶.8．设函数在处有连续的导函数,又,则是（）（Ａ）曲线拐点的横坐标；（B）函数的极小值点；（Ｃ）函数的极大值点；（D）以上答案都不正确.9．设函数在区
7、间上连续,且为常数）,则曲线所围平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为()10．设为在第一卦限的部分,则有（）三、（6分）为何值时,等式成立.四、（8分）设函数其中具有连续二阶导函数,且.（１）确定的值,使在点处可导,并求.17（１）讨论在点处的连续性.五、（6分）设正值函数在上连续,求函数的最小值点.六、（6分）设且求七、（７分）设变换,把方程,化为试确定八、（7分）设函数在平面上具有连续一阶偏导数,曲线积分与路径无关,并且对于任意的恒有求九、（９分）设函数具有二阶连续导函数,且在曲线上任取一点作曲线的
8、切线,此切线在轴上的截距记作,求.十、（7分）设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且试证明：对于任意的正数在内存在不同的,使十一、（7分）设,试证明在区间上有且仅有两个实根.十二、（8分）设函数在单位圆域上有连续的偏导数,17且在边界上的值恒为零.证明：.其中：为圆域2004年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、（每小题３分）填空：1．设函数则的定义域为.2．设要使函数在区间上连续,则.3．设函数由参数方程所确定,其中可导,且,则.4．由
