2001—2010年天津市大学数学竞赛(用于打印)

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1、2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.设，则_______。2.已知的一个原函数为，则_______。3._______。4.设a，b为非零向量，且满足（a+3b）⊥（7a–5b），（a–4b）⊥（7a–2b），则a与b的夹角为_______。5.根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量的估计公式为（单位：十亿桶/年）：，式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为：，则自1995年至2015年共节省原油

2、_______。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.设函数其中是有界函数，则在点处（）。（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。2.设曲线的极坐标方程为，则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。3.设函数连续，则（）。（A）；（B）；（C）；（D）。654.设为一函数的全微分，则下面正确的答案为

3、（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5.设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（）。（A）；（B）；（C）；（D）。三、计算。（本题7分）四、设，求。（本题6分）五、对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。（本题7分）65六、设a，b均为常数且，，问a，b为何值时，有。（本题7分）七、设，，证明：存在并求其值。（本题8分）65八、设是区间上的函数，且，，证明：，。（本题7分）九、设是由所确定的二元函数，求：，。（本题6分）65十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）

4、十一、计算，其中Σ为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）十二、在曲面上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。（本题8分）2009年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）651..2.设，则使存在的最大n=.3..4.设，，若与OZ轴垂直，则λ=.5.设L为正向圆周在第一象限中的部分，则.二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的

5、字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.函数的第一类间断点的个数为（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。2.设与具有任意阶导数，且，，，则（）。（A）为函数的极小值；（B）为函数的极大值；（C）点（0,1）为曲线的拐点；（D）极值与拐点由确定。3.设函数，，又与都不存在，则下列结论正确的是（）。（A）若不存在，则必不存在；（B）若不存在，则必存在；（C）若存在，则必存在；（D）若存在，则必不存在。4.设具有2阶连续偏导数，，，。若是由方程所确定的在点附近的隐函数

6、，则是的极小值点的一个充分条件为（）（A）；（B）；（C）；（D）。5.设L为折线的正向一周，则（）。65（A）－2sin2；（B）－1；（C）0；（D）1。三、设函数⑴a为何值时，在x=0点处连续；⑵a为何值时，x=0为的可去间断点。（本题7分）四、设（n为正整数），⑴求在闭区间[0,1]上的最大值M（n）；⑵求。（本题7分）五、计算。（本题6分）65六、设对任意x，都有，且在x=0点处连续，，证明：在x=0点处也连续。（本题6分）七、设，，计算。（本题7分）八、在椭球面上求一切平面，它在坐标轴的正

7、半轴截取相等的线段。（本题7分）65九、设为连续函数，求证，其中（本题7分）十、设函数在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且，，。证明：存在一点ξ∈（a,b）使得。（本题7分）十一、设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：。（本题8分）65十二、计算曲面积分，其中Σ为空间区域边界曲面的外侧。（本题8分）2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.设f(0)>0，，则。2.设函数由方程所确定，则曲线上对应于x=0点处的切

8、线方程为。3.。651.函数在点M(1,1,1,)处，沿曲面在该点的外法线方向的方向导数。2.设函数在区域上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则n等于（）（A）4；（B）3；（C）2；（D）1。2.设是单调增的正数列，则数列（）（A