高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结.doc

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1、恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数——最值化1在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出,则a≥;若a≤f(x)恒成立,只须求出,则a≤转化为函数求最值.例1已知函数f(x)=,若任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.解:根据题意得,x+−2

2、>1在x∈[2,+∞)上恒成立,即a>−+3x在x∈[2,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x.则f(x)=−+,当x=2时,=2,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值,则f(a)≥.然后解不等式求出参数a的取值范围;:若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值,则f(a)≤.然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2已知x∈(−∞,1]时,不等式1++(a−)>0恒成立,求a的取值范围.解令=t,∵x∈(−∞,1]∴t∈(0,2].所以

3、原不等式可化为<,要使上式在t∈(0,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t∈(0,2]上的最小值即可.∵f(t)==+=−又t∈(0,2]∴∈[)∴=f(2)=∴<,∴−

4、值范围是xyo12y1=(x-1)2y2=logax例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)21,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga2>1,a>1,1

5、关系，列出关于参数的不等式。例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，综上得：三、变更主元——简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例7对于满足≤2的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围.分析:在不等式出现了两个字母x及p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将p视作自变量,则上述问题可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立问题.解:原

6、不等式可化为(x−1)p+−2x+1>0.设f(p)=(x−1)p+−2x+1,则f(p)在[−2,2]上恒大于0,故有即解得例8对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解析：不等式不等式即对于恒成立。记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间［－1，1］内恒为正的x应满足的条件。由得或故实数x的取值范围是恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上三种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。四、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,

7、有1对恒成立;2对恒成立例9．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例10．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立当时，显然成立；Oxyx-1当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。五、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、