高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结

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1、-恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数——最值化----1在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出,----则a≥例1;若a≤f(x)已知函数f(x)=恒成立,只须求出,若任意,则x∈[2,+a≤∞)恒有

2、转化为函数求最值.f(x)>0,试确定a的取值范围.----解:根据题意得,x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立,即a>-+3x在x∈[2,+∞)上恒成立.设----f(x)=-+3x.则f(x)=-+,当x=2时,=2,所以a>2----2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值,则f(a)≥.然后解不等式求出参数a的取值范围;:若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值,则f(a)≤.

3、然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2已知x∈(-∞,1]时,不等式1++(a-)>0恒成立,求a的取值范围.解令=t,∵x∈(-∞,1]∴t∈(0,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t∈(0,2]----上恒成立,只须求出f(t)=在t∈(0,2]上的最小值即可.----∵f(t)==+=-又t∈(0,2]∴∈[)∴=f(2)=----∴<,∴-

4、[(ab)(b11bcabc)]112abbcabbcabbc2bcab4.abbcb时取等号），故m4。（当且仅当bca二、数形结合——直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例4设f(x)(x2k)2(xIk,Ik表示区间(2k1,2k1])，对于任意正整数k，直线yax与f(x)恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。解析：作出f(x)(x2k)2在区间(2k1,2k1]上的图像，由图像知，直线yax只能绕原点O从x正半轴旋转到过点A(2k1,1)的范围，直

5、线AO的斜率为101,于是实数a的取值范围2k102k11.是0a2k1----例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)21,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga2>1,a>1,1

6、---数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例6、若不等式3x2logax0在x0,1内恒成立，求实数a的取值范围。3解：由题意知：3x2logax在x0,1内恒成立，3在同一坐标系内，分别作出函数y3x2和ylogax观察两函数图象，当x0,1时，若a1函数3ylogax的图象显然在函数y3x2图象的下方，所以不成立；当0a1时，由图可知，ylogax的图象必须过点1,1或在这个点的上方，则，loga11a11a1综上得：1a13333

7、272727三、变更主元——简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例7对于满足≤2的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围.分析:在不等式出现了两个字母x及p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将p视作自变量,则上述问题可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立问题.解:原不等式可化为(x-1)p+-2x+1>0.设f(p)=(x-1)p+-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有即解得1x2ax12xa1例8对于a[1,1]，不等式恒成立，求实数x的取值范围。2

8、2x2ax2xa1解析：不等式11不等式x2ax2xa1即(x1)2a(x1)对于22a[1,1]恒成立。记f(a)a(x1)(x1)2，则问题转化为一次函数（或常