“利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围”的重要方法-论文.pdf

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1、叠趾aEducat—ion。Herald“利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值教学案例范围"的重要方法周凤玲(辽宁省凌源市第二高级中学辽宁凌源122500)摘要：本文主要以近两年高考试题为倒来说明利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围的重要方法。主要介绍了分离参数法、特值入手推导一般法，放精法。关键词：恒成立导数最值中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1673—9795(2O14)01(c)一0112-o1利用导数求含参不等式恒成立中参数注：分类的标准是以+1>0；x+1=0；X∈(1，+∞)时F(x)>0，即F(x)在(一2，)取值范围的问题是高中数学教学的一

2、个重x+1<0选取的，选取此法简单明了，值得单调递减，在(x，，+∞)单调递增，故F()在点难点，也是近年来高考的一个热门考点。思考和借鉴。学生也很容易接受。x=取最小值F()，而F(x1)=2xl+2一解决这类问题需涉及“函数与方程、化归与转化、数形结合、分类讨论”等数学思想，这一4一2(+2)≥0，．．F()≥0，即2特值入手，推导一般法对学生的综合能力要求相当的高，所以学厂()≤妇()恒成立，(2)当Xt一2即k=e例2：(12全国)厂)=ax+cosx，x∈[0，万】，生难以掌握。但如果我们能认真观察分析时，则F(x)=2e(x+2)(P一e_2)。．’．当x≥一(1)讨论f

3、(x)的单调性；(2)若_厂G)≤1+sinx，下这类问题的特征，其实这类题目的规一2时，F(x)≥0，．’．F()在(一2，+一)单调递律性是较强的。下面就结合例子给出解决求实数a的取值范围。增，．’．F(x)≥F(一2)=0，即_厂()≤五g(x)恒此类问题的几种重要方法：分析：(1)略}(2)由f(n1≤1+sin得成立。综上所述，k的取值范围为[1，ez】。最值法：(1)厂)≥口恒成立，)⋯口≤。设g(x)=1+sinx—ax—COSX，则≥a(2)厂)≤口恒成立§，G)rI1≤Ⅱ3放缩法g()_sinxWcosx-a=sin三-a。例3：(13辽宁)设／()：(1+，g(x

4、)=1分离参数法分离参数就是将参数与未知量分离于似++2xcosx+1，∈[0，1]。．．一[0，万】．．．sin[_·，】。①表达式的两边即-厂Ga(厂G)≤n)恒成立的1(1)求证：l—≤厂)≤一；(2)若形式，再解不等式厂，≥a(§f(x≤)当口≤一1时，g。)≥0(当且仅当a=一1，即可求出参数的范围。x=万取等号)，g()在[0，】递增，gG)≥g(0)=0厂)≥gG)恒成立，求实数a的取值范围。例1：(13新课标)已知函数f(x)=x+=0，即+cos≤1+sinx成立。②当一1分析：(1)略；(2)由(1)知_厂)；≥1一x，要使+b，g(x)=e(蹦+d)，若曲线Y=

5、f(x)，)≥gG)恒成立，只需1一≥gG)成立。和曲线Y=g(x都过点P(O，2)，且在点P处a≤时，g。)在[署，，r]单调递减，g’(三]=有相同的切线。(i)当x：0时，显然成立；(ii)当x∈(0，1】√2一口>0，g)=-1一a<0，所以存在唯一(1)求口，6，c，d的值；(2)若≥一2时，】时，1．x≥g(x)一二x一2COSX．1≥a。设f()≤堙()，求k的取值范围。的实数Xo【l三，，万r)J，使g(【‰)J：=0。又g)在分析：(1)略。(2)由(1)知，f(x1=厂一]、，、1【x)=一÷一2cos一1，贝0’x)=一x+2sin，x+4x+2，g(x)=2e

6、(+1)，f)≤置g()l^o，，‘1l单调递增，g(，0、)=1-口>o，故当12ke(+11≥x+4x+2(≥一2)，e(0，x0)时，g’)>0，g(x)单调递增；当x)=一1+2cosx当x∈(0，1]时COS>，(1)若+1>o，即>一1时，／)≤g()∈X。，万)时，g’()<0，g)单调递减。hx)>0．h(x)，在(0，1]单调递增，’)>§等，设F)=等·．．g)=min{g(O)=0，g)}，又g)=h(o)=0．h(x)在(0,1]单调递增．h(x)>210)=一3，所以a≤一3。F。)一。2-口，r，口≤·．．口丁【≤2．·．g(，r)o．·．gG)≥0注：借

7、助第一问的不等式进行放缩，是‘一．．1<0，F(x)在(一l，o)单解决此题的关键。·调递增；x≥0，Fx)≤0，F(x)在(0，+o0)单．．g(x)>O~1]f(x)