不等式恒成立,求参数的取值范围——洛必达法则.pdf

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1、.洛必达法则简介法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limfx0及limgx0；xaxa(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；fxfxfx(3)liml，那么lim=liml。xagxxagxxagx法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limfx0及limgx0；xx(2)Af0，f(x)和g(x)在,A与A,上可导，且g'(x)≠0；fxfxfx(3)liml，那么lim=liml。xgxxgxxgx法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limfx及limgx；xaxa(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导

2、且g'(x)≠0；fxfxfx(3)liml，那么lim=liml。xagxxagxxagx利用洛必达法在解题中应注意：○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa，xa洛必达法则也成立。0，，00○2洛必达法则可处理0，1，，0，型。0;..0○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，0，0，0，型定式，否则滥用洛必达法则会0，10出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。洛必达法则应用：1.(2010年全国新课标理)设函数x2f(x)e1xax。（1）若

3、a0，求f(x)的单调区间；（2）若当x0时f(x)0，求a的取值范围原解：（1）xxa0时，f(x)e1x，f'(x)e1.当x(,0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0.故f(x)在(,0)单调减少，在(0,)单调增加x（II）f'(x)e12ax由（I）知xe1x，当且仅当x0时等号成立.故f'(x)x2ax(12a)x，1从而当12a0，即a时，f'(x)0(x0)，而f(0)0，2于是当x0时，f(x)0.由xx1e1x(x0)可得e1x(x0).从而当a时，2xxxxxf'(x)e12a(e1)e(e1)(e2a)，故当x(0,ln2a)时，f'(x)0，而f(

4、0)0，于是当x(0,ln2a);..时，f(x)0.1综合得a的取值范围为,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当x0时，f(x)0，对任意实数a,均在f(x)0；xex1当x0时，f(x)0等价于a2xxxxex1xe2ex2令gx2(x>0),则g(x)3，令xxxxxxxhxxe2ex2x0，则hxxee1，hxxe0，知hx在0,上为增函数，hxh00；知hx在0,上为增函数，hxh00；gx0，g(x)在0,上为增函数。xxxex1ee1由洛必达法则知，lim2limlim，x0xx02xx0221故a21综上，知a的取值范围为,。2;

5、.