“洛必达法则”巧解高考恒成立问题

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1、“洛必达法则”巧解高考恒成立问题程汉波杨春波(华中师范大学数学与统计学学院，湖北戎汉430079)含参数的不等式恒成立问题是高考的一个难点与热点，历年高考中该问题层出不穷、精彩纷呈.参数分离一一讨论最值(数形结合)是该类问题的惯用方法，然而，笔者发现一个奇特的现象是许多高考试题采用参数分离法求解入手容易，思路简单，但皆因屮途函数在某区间内单调性或极值难以求出而致使解答半途而废.笔者研究后发现若借助高等数学中的洛必达法则往往能化险为夷，柳暗花明.本文结合近几年全国各地高考屮的恒成立问题，谈谈“洛必达法则”在其中的美妙应用.以下定理在《数学分析》(《髙等数学》)即可查到，故将其证明略去.定理

2、若函数/(%)>g(兀)在定义域£>内可导,aeD，满足/(g)=g(a)=0,f@)、讪存在且讪S则臥gp話也懦-匍g'(d)例1(2012年湖南卷理22)已知函数f(x)=ea'x-x,其中a^O.(1)若对一切XG/?,/(%)>1恒成立，求实数。的取值范围.解：/(x)>1等价于严2兀+1.当兀5—1或x=0吋，不等式x+1对一切gw/?恒成立；当兀>—1且兀北0时，不等式eav>%4-1等价于6/x>ln(x+l),也即等价于：当—IvxvO时，a0时，a』°+1).所以②另一方面，当a=1时，令g(x)=eA-x-1,则g(x)=ex-1,当x<0时，g(

3、x)v0；当兀>0时，g(Q>0,所以g(x)>恒成立.综上：实数。的取值范围为a=l.例2(2012年天津卷理20)已知函数/(x)=x-ln(x+«)的最小值为0,英屮a>0.(1)求a的值.(2)若对任意的xg[0,+oo),有/(%)0的情形，原不等式即等价于kJ」叫X1)对一切兀>o恒成立.所以，①一方面，k>lim—~=lim——=lim~=—；f火“2x

4、5“2(兀+1)-2②另一方面，当丄时，令g(x)=2x2-x+ln(x+l),则g'(兀)=兀一1+—=22x+1丫211>0=>g(x)>^(0)=0，所以x-ln(x+l)<-x2对一切xno成立.显然当k>-吋,x+122不等式x-ln(x+1)<—x20恒成立.2综上：实数R的最小值为k=-・2例3(2012年大纲全国卷理20)设函数/(x)=6/x+cosx,xg[0,^].(1)讨论/&)的单调性.(2)设/(x)

5、/GR恒成立；只需考略x>0的情形，原不等式即等价于6/<1+Sin，r~C0SX对一切0S恒成立.所以,①一方面，aa<—.t^a<—.x"X71717122②另一方面，当d二一时，/(x)=—X+COSX,XGQ,7r]7t龙yrinr7当05x5丝时，由y=sinx上的点与原点连线斜率大小关系易得即2X7Tsinx>—x71,所以/U)=—x+cosx

6、—兀<1<1+sinx.所以当00且兀幻时，有/(%)>-^+-,求实数比的取值范围.x-1X解：(1)易得a=Vh=,过程略去；/(x)>-^+-等价于kvl-绎哇・x~Xx~①一方面，k

7、x、兀$-1丿=1一lim.w21nximk・—0心2+[J^--21nx,考虑7②另-方面，当“0吋，令gW=1-

8、^=-^-h{x)=———-21nx,则/?(无)=1+4-？=&J)〉0‘所以力(兀)在x>0Hx^1上单xx%x~调递增,于是,当00；当x>l时，x~-1/?(%)>/z(l)=0,g(0=/