利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

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1、利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题河南省偃师高中高洪海2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。一．洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法则3若函数f(x)和g(

2、x)满足下列条件：(1)及；　　(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。洛必达法则可处理，，，，，，型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二．高考题处理1.(

3、2010年全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围原解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，-8-于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。2

4、．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。原解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时，，可得；-8-当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设00,故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h

5、（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g(x)=(),则，再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0在上为增函数=0当时，，当x（1，+）时，当时，，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数由洛必达法则知，即k

6、的取值范围为（-，0]规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。从高考题看含参不等式恒成立问题的解题策略海口一中操冬生已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法

7、有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。一分离参数，转化为求函数的最值对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。-8-例1（2010年全国卷1理）已知函数（Ⅰ）若，求的取值范围（Ⅱ）证明:解析：（Ⅰ），由得，令，于是，问题化为求函数的最大值。，当时，；当时，。当时，有最大值，（Ⅱ）略。评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3

8、）恒成立。（4）恒成立。二分离参数，转化为求函数的确界如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数的上确界为，记作；函数的下确界为，记作。于是，有如下结论：（1）若无最大值，而有上确界，