导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题

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1、实用标准导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006年全国2理设函数f(x)＝(x＋1)·ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．2.2006全国1理已知函数.（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围.3.2007全国1理设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．4.2008全国2理设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．5.2008辽宁理设函数.⑴求的单调区间和极

2、值;⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.6.2010新课标理设函数=.（Ⅰ）若，求的单调区间;文档实用标准（Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值范围7.2010新课标文已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.8.2010全国大纲理设函数.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.9.2011新课标理已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.10.自编自编：若不等式对

3、于恒成立，求的取值范围.第二部分：新课标高考命题趋势及方法1.新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2.分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这

4、种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.3.洛必达法则虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是文档实用标准洛必达法则.第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数、满足：（1）；（2）在内，和都存在，且；

5、（3）（可为实数，也可以是）.则.（可连环使用）注意使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。2.2011新课标理的常规解法已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.（Ⅰ）略解得，.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知，所以.考虑函数，则(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，，可得；当时，，可得，从而当且时，，即；（ii）当时，由于当时，，故，而文档实用标准，故当时，，可得，与题设矛盾.（iii

6、）当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.3.运用洛必达和导数解2011年新课标理当，且时，，即，也即，记，，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范

7、围为.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.文档实用标准当然这一法则出手的时机：（1）所构造的分式型函数在定义域上单调（2）是型。4.运用洛必达和导数解2010新课标理设函数.（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当时，，即.①当时，；②当时

8、，等价于.记，则.记，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.5.运用洛必达和导数解自编题自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.解：应用洛必达法则和导数文档实用标准当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不