导数恒成立问题---洛必达法则的妙用

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1、洛必达法则沈阳市第十一中学数学组赵拥权洛必达法则：设函数、满足：（1）；（2）在内，和都存在，且；（3）（可为实数，也可以是）.则.（可连环使用）注意使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。②洛必达法则可处理，，，，，，型。③在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不

2、满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。1．（2006全国2）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数

3、，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．……9分(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．……12分解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．

4、　　……3分对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……6分当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，……9分所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．解法三：1），当时，；2），当x>0时a≤(x＋1)ln(x＋1)x，gx=(x＋1)ln⁡(x＋1)x,g'(x)=x-ln⁡(x+1)x2>0(

5、x∈(0,+∞))由洛必塔法则limx→0+g（x）=limx→0+x+1ln⁡(x+1)limx→0+x=limx→0+(lnx+1+1)limx→0+1=1∴a≤12.2006全国1理已知函数.（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围.解法（一）(ⅰ)当0f(0)=1.(ⅱ)当a>2时,取x0=∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)1且e－ax≥1,得f(x)=

6、e－ax≥>1.综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.解法（二）-a>ln1-x-ln⁡(x+1)x,g(x)=ln1-x-ln⁡(x+1)x,g'(x)<0(x∈(0,1))（两次求导）由洛必塔法则：limx→0+gx=limx→0+(ln1-x-ln1+x)limx→0+x=-2,∴-a≥-2,∴a≤23.2007全国1理设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．解法（一）：令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若

7、，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．解法（二）：（1）x=0时∀a都成立。（2）a≤ex-e-xxgx=ex-e-xx,g'(x)>0(x∈(0,+∞))（两次求导）由洛必塔法则：limx→0+g(x)=limx→0+(ex+e-x)limx→0+1=24．2010新课标理设函数=.（Ⅰ）若，求的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值范围解法一：由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可

8、得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为.解法二：当时，，即.①当时，；②当时，等价于.记，则.记，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.5.2010新课标文已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.fx=x(ex-1-ax)。令g(x)=ex-1-ax，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.若，则当时，