不等式恒成立,求参数的取值范围——洛必达法则.docx

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1、.洛必达法则简介法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limfx0limgx0；xa及xa(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)limfxl，那么limfx=limfxl。xagxxagxxagx法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limfx0limgx0；x及x(2)Af0，f(x)和g(x)在,A与A,上可导，且g'(x)≠0；(3)limfxl，那么limfx=limfxl。xgxxgxxgx法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)xafx及limxagx；lim(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(

2、x)≠0；(3)limfxl，那么limfx=limfxl。xagxxagxxagx利用洛必达法在解题中应注意：○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa，xa洛必达法则也成立。○2洛必达法则可处理0，，0，，0，0，型。010;..○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足0，，00，1，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。洛必达法则应用：1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)ex1xax2。（1）若a0，求f(x)

3、的单调区间；（2）若当x0时f(x)0，求a的取值范围原解：（1）a0时，f(x)ex1x，f'(x)ex1.当x(,0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0.故f(x)在(,0)单调减少，在(0,)单调增加（II）f'(x)ex12ax由（I）知ex1x，当且仅当x0时等号成立.故f'(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a21时，f'(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0).从而当a1时，2f'(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0,ln2a)时，f'(x)0，而f(0)0，于是当x(0,l

4、n2a);..时，f(x)0.综合得a的取值范围为1,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当x0时，f(x)0，对任意实数a,均在f(x)0；xx1当x0时，f(x)0等价于ae2xxxx令gxex1(x>0),则g(x)xe2ex2，令23xxxxxxxhxxe2ex2x0，则hxxee1，hxxe0，知hx在0,上为增函数，hxh00；知hx在0,上为增函数，hxh00；gx0，g(x)在0,上为增函数。xx1xx由洛必达法则知，limelimelime1，2x0xx02xx022故a12综上，知a的取值范围为,1。2;.