晶格振动ppt课件.ppt

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1、2.6非简谐效应（Anharmonicity):晶体的热膨胀和热传导一.简谐近似的不足二.非简谐下的解三.绝缘体的热导率四.晶格状态方程和热膨胀参考：黄昆书3.103.11两节Kittel8版5.25.3两节.在简谐近似下，我们描述了晶体原子的热运动，并以此图像解释了固体热容、离子晶体的光学及介电性质，还用来解释辐射波和晶体的相互作用问题。简谐近似下的晶体，每个简正振动模将完全独立于所有其它振动模而传播，并且可以应用叠加原理，这样的晶体我们可称作简谐晶体。但这种简谐晶体的一些性质却和实际晶体完全不同，是我

2、们过于理想化的结果。一、简谐近似的不足；非简谐项和热膨胀效应。.然而在简谐近似下，得出了一些与事实不符合的结论：没有热膨胀；力常数和弹性常数不依赖于温度和压力；高温时热容量是常数；等容热容和等压热容相等CV=CP声子间不存在相互作用，声子的平均自由程和寿命都是无限的。或说：两个点阵波之间不发生相互作用，单个波不衰减或不随时间改变形式。没有杂质和缺陷的简谐晶体的热导是无限大的。对完美简谐晶体而言，红外吸收峰，Raman和Brillouin散射峰以及非弹性中子散射峰宽应为零。以上结论对于实际晶体而言，没有一条

3、是严格成立的。.原因是前几节我们在求解原子运动方程时，只考虑了势能展开项中的二次项（简谐项），此时势能曲线是对称的，温度提高，原子振动幅度加大，并未改变其平衡位置，所以不会发生热膨胀。如果考虑到实际势能曲线的非对称性所带来的非简谐项的影响，上面的与实际晶体性质不相符的推论就都不存在了。然而非谐项的存在将会给运动方程的求解带来很多的困难，所以我们在讨论非简谐效应时，往往更多的采用定性分析的方法，采用对简谐近似结论修订和补充的方法来适应非简谐的情况。简谐近似,势能为抛物线，两边对称。.Morse给出了双原子分

4、子的势函数的一种表达式：见PeterBrueschPhonons：TheoryandExperimentsⅠP154对实际晶体而言，它们反抗把体积压缩到小于平衡值的能力要大于反抗把体积膨胀时的能力，所以势能曲线是不对称的，振幅增大，原子距离增大，这是发生热膨胀的根源。.Morse势能表达式，我们以此为例讨论非简谐效应：是离解能，是一个正值常数。D从势能展开项开始讨论：常数定义为零平衡点微商为零简谐项非谐项….都是力常数，可以通过Morse函数的展开式给出。要注意不同书中系数的定义有所不同，并不影响讨论结果

5、。证明见习题2.11我们先只取到三次方项：简谐项非简谐项.按照Boltzman统计，处于热平衡时，对平衡态的偏离：显然，不考虑三次方项，不会发生热膨胀。考虑了三次项后即可以解释热膨胀，此时线膨胀系数是常数：如果考虑比三次方以上的更高次项，膨胀系数就不再是线性的。实验曲线表明了这点。（求解比较繁琐，需要假定：）＝常数.见Kittelp89.先看一个双原子运动方程：是两原子的约化质量其解的形式为：这里只考虑了Fourier展开式中的头三项，所以只有2ω项，如果考虑项，则会有3ω的项。②①③将③式代入①求解，并

6、假定sA<<1，有：二.非简谐下的解：++.⑤利用③式，并考虑到：有：因为，所以：注意到势能曲线的斜率：即作用力下降，频率降低，见式④⑥⑤⑦.当系统与热源处于热平衡状态时，双原子的平均振动能：代入⑦式可得：⑤式可以写成：从这个结果中我们得到启发：描述多原子分子的非简谐运动要复杂的多，不仅要有几个基本频率：还需要包括振幅平方与温度成正比≈.考虑非简谐项后一维单原子链运动方程的求解：方程求解非常复杂，特别是非谐项比较大时，完全不能用类似的方法来表述，但我们在处理弱非简谐情况时，可以把简谐近似下得到的相互独立的

7、简谐振子解作为基础，把非简谐项作为微扰来处理，这就导致声子之间存在着相互作用，会发生碰撞，能量改变且只有有限的寿命。一种频率的声子可以湮灭而产生另一种频率的声子，这样经过一段时间后，各种频率的声子数目就会达到和环境温度相平衡的分布。简单说就是通过非谐项的作用，本来相互独立的谐振子之间发生耦合，即两个声子之间可以发生碰撞而产生第三个声子，或说一个波矢为q1的声子，吸收一个波矢为q2的声子，变成一个波矢为q3的声子。.声子之间的碰撞要服从能量和动量守恒：Normalprocess正常过程Umklappproc

8、ess倒逆过程由于波数必须在第一布里渊区内取值，因此动量守恒的要求会存在两种情况：仍在第一布里渊区内的称正常过程；新声子的q值等于第一布里渊区内某个值加一个倒易矢量的称倒逆过程。从下面图中可以清楚的看出倒逆过程是影响声子传播、降低热传导的主要因素。这里，波矢和波矢是对同一声子的，表述了同样一个运动状态。.正常过程NormalProcesses倒逆过程UmklappProcesses.二维正方晶格中正常声子碰撞过程k1+k2=k