《晶格振动》PPT课件

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1、晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动第四章晶格振动和晶体热学性质如何处理晶体中原子的振动？晶格动力学（经典理论）：原子的振动以波的形式（称为格波）在晶体中传播有多少个基本的振动频率（模式数量）、波动的频率和波数的关系（色散关系）晶格振动的量子理论：原子振动的粒子形式（声子）应用：晶体的热容量4.1一维单原子链的振动原子链共有N个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n个原子离开平衡位置的位移用un表示,第n个原子和第n+1个原子间的相对位移为原子振动时，相邻两个原子之间的间距一

2、维单原子链平衡时原子位于Bravais格点上1、基本假设原子围绕平衡位置作微振动简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项此时，两原子间的相互作用势能可表示为：称为原子间恢复力常数→弹性力在简谐近似下相邻两个原子间的作用力：第n个原子受到的作用力为：一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接起来的一串质量为m的球2、一维单原子链的运动方程只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力：第n个原子的运动方程为对于N个原子有N个完全类似的运动方程运动方程为二阶常微分方程3、运动方程的解设方程的特解为：q：波矢,大小等于，方向为波传播的方向qna：第n个原

3、子相对于参考点的位相差qa：相邻原子的位相差t时刻原点处原子相对于平衡点的偏移特解具有波动形式（用波矢为q、频率为ω的简谐波来描述原子离开平衡位置的振动）为了确定色散关系，把试探解带入运动方程得：振动频率与n无关，色散关系对所有原子都相同4、一维单原子链的色散关系ω和q之间的关系称为色散关系原子的振动以波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。一个格波表示晶体中所有原子一起参与的共同振动。在简谐近似下，格波为平面波。5、波矢q的取值范围波矢q和描述同样的振动状态：为了保证xn的单值性，把q限制在格波q的不唯一性的图示6、周期性边界条件波恩－卡门边界条

4、件：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链，从而第N+1个原子就是第1个原子，第N＋2个原子就是第2个原子……式中h为整数，q取分立值把波矢q表示为倒空间中的一个矢量：为一维晶格的第一布里渊区波矢的取值范围为而独立波矢的取值范围在第一布里渊区相差一个或几个倒格矢的波矢描述同样的振动状态一个布里渊区包含的波矢数目即对于一维单原子链，晶格振动波矢的数目等于晶体的原胞数在FBZ，q取分立值，相邻两个波矢的间隔ω是q的周期函数：时，（具有该特点的格波称为声学波）7、一维单原子链色散关系的特点波速（相速度）群速8、格波的波速和群速布里渊区的中心附近，波速

5、为常数，此时格波为弹性波在布里渊区的边界上，一维单原子链格波的群速度为零：根据弹性波的理论波是一个驻波。一个格波表示整个晶体所有原子都参与的振动，体系所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量：所有格波在第n个原子处产生的总位移量：4.2一维双原子链的振动晶格常数a，共有N个原胞，每个原胞有两个原子，质量分别为M1、M2，交替放置形成一维周期结构。链上的原子由其所属的原胞数n及在基元中的序号p＝1，2来标记。一维双原子链的结构如图所示，设A、B两种原子组成一无限的一维周期晶体，画出其晶格的原胞。基元

6、仍然采用简谐近似和最近邻近似，原子的运动方程为：设方程组有如下的格波解：共有2N个不同类原子的振幅不同，但以相同的频率振动1、运动方程和格波解把试探解带入运动方程，有：A、B有非零解的条件是上面方程组的系数行列式等于零：每个波矢对应两个不同的频率，当q变化时，给出两条色散关系，称为两支，频率低的一支（取负号）称为称为声学波，频率高的一支（取正号）称为光学波。2、色散关系光学波声学波3、一维双原子链色散关系的特征色散关系是倒格矢量的周期函数：色散关系分成两支：一支是声学波，一支是光学波，光学波和声学波的频率各有一定的范围。在声学波最小最高频率和光学

7、波的最小频率之间有一频率间隙当q→0时，声学支的色散关系是线性的光学支的频率近似为常数4、声学波和光学波振动的特点相邻原子振幅之比声学支光学支声学支中，相邻原子的振动方向相同光学支中，相邻原子的振动方向相反长波时，长声学波代表原胞质心的振动长波时，长光学波描述原胞内原子之间的相对运动双原子链在长波极限(q→0)的振动图像光学波在布里渊区边界声学波：光学波：5、振动模式数（频率数）波矢限定在第一布里渊区中周期性边界条件下一维双原子链：晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数一个波矢对应2个不同的频率，共有2N个振动频率，这2N个振动频率分为2支。一个原胞

8、中有r个原子，原胞数目4.3三维晶格的振动第L个原胞中第S个原子离开平衡点的位移在坐标轴α方向的分量原子的质量：第L个原胞中第s个原子运