2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件第2章推理与证明222反证法.ppt

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1、成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-1　1-2推理与证明第二章2.2　直接证明与间接证明第二章2.2.2　反证法典例探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题．思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？反证法新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__________，因此

2、说明假设__________，从而证明了原命题__________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．矛盾错误成立2．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与__________________、事实矛盾等．已知条件假设定义、公理、定理4．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况

3、的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)________以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，________的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．结论结论牛刀小试1．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为：

4、没有实根．[答案]C3．应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②　　　　　　B．①②④C．①②③D．②③[答案]C4.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．[解析]假设点M在线段CD上，则BDAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．典例探究学

5、案求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．[分析]直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．用反证法证明直接证明不易入手的问题[解析]不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面α只能相交．[方法规律总结]用反证

6、法证明数学命题的步骤第一步：审题，分清命题的条件和结论；第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.[解析]假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.[点评]本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂

7、，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法．已知x，y>0，且x＋y>2.[分析]明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾．用反证法证明“至多”、“至少”类命题[方法规律总结]1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个