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《2017-2018学年高中数学第二章推理与证明222反证法学案（含解析）新人教a版选修1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2.2反证法知识点层析教材，新知无师自通［提出问题］著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的.他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的•”问题1:王戎的论述运用了什么推理思想？提示：运用了反证法的思想.问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.［导入新知］1.反证法假设原命题不成立（即在原命题的条件下,结论不成立），经过正确的推理，最
2、后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.［化解疑难］1.反证法实质用反证法证明命题“若则g”的过程可以用以下框图表示：导致逻辑矛盾“刀且綁g”为假“若P，则q”为真2.反证法与逆否命题证明的区別反证法的理论依据是D与綁D真假性相反，通过证明綁门为假命题说明门为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“戸q”与“綁戸綁刀”是等价命题，通过证明命题“繍卢締Q”为真命题来说明命题“戸Q”为真命题，证明过程不出现矛
3、盾.1^1缓遡锁定考向，考题千变不离其宗用反证法证明否定性命题7［例1］设函数f{x)=ax+bx+c(a^O)中,g,b,c均为整数,且f(0),f(l)均为奇数.求证：f(0=0无整数根.［证明］假设fg=0有整数根刀，则加+勿+尸0(刀曰)，而/'(0),f⑴均为奇数,即c为奇数，a+b为偶数，则arf+bn=-c为奇数，即n{an+b)为奇数，・・・/7,an+b均为奇数•又•:a+b为偶数,an—a为奇数，即a(n~1)为奇数,・・・/7—1为奇数，这与刀为奇数矛盾.・・・代方=0无整数根.［类题通法］1.用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”
4、等否定性词语时，宜采用反证法证明.2.反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤：(1)反设一一假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬一一由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真一一由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立.即反证法的证明过程可以概插为：反设一一归谬一一存真.［活学活用］设臼，b,c,且ad—bc=1.求证：a+lf+c+d+ab+cd^1.证明：假设/+方‘++/+自方+cd=1.因为ad—bc=1,所以a+l)+c+(t+ab+
5、cd+be—ad=0,即(a+b)2+{c+d)2+(a—d)2+(Z?+c)2=0,所以a+b=0,c+〃=0,臼一〃=0,力+c=0,则&=b=c=d=Q,这与已知条件ad—bc=1矛盾.故假设不成立，所以/+/+/+/+ab~~edr1.用反证法证明唯一性命题［例2］己知日HO,求证关于才的方程ax=b有且只有一个实根.［证明］由于臼H0,因此方程ax=b至少有一个实根x=2如果方程不只有一个实根，不妨假设孟，疋是它的不同的两个根,从而有bx=b,4x2=b,两式作差得自(山一Q=0.因为山工尿，从而日=0,这与己知条件矛盾，从而假设不成立，原命题成立.即当mHO时，关于x的方程ax
6、=b有且只有一个实根.［类题通法］用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单.(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面.［活学活用］用反证法证明：过已知直线臼外一点/有且只有一条直线方与已知直线臼平行.证明：由两条直线平行的定义可知，过点力至少有一条直线与直线&平行.假设过点力还有一条直线夕与已知直线日平行，即bCH=A,H//a.因为b//a,由平行公理知力'〃”.这与假设Z?Ab'=力矛盾，所以假设错误，原命题成立.1用反证法证明“至少
7、”“至多”等存在性命题［例3］已知昂+及+处+鱼>100,求证：曰I,日3,$中至少有一个数大于25.［证明］假设句，及，金，均不大于25,即日iW25,@W25,日3025,日.［W25,则<31+^+^+^^25+25+25+25=100,这与已知臼i+⑵+角+&i>100矛盾，故假设错误.所以0,a>,色,中至少有一个数大于25.［类题通法］常见“结论词”与“反设词”结论词至少冇一个至多有一
