资源描述：
《2017-2018版高中数学第二章推理与证明222反证法学案新人教b版选修1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2.2反证法【明目标、知重点】1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.填要点•记疑点1.反证法的定义一般地，由证明p=^q转向证明：絲卢尸＞・・・nr,广与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定絲0为假,推出2为真的方法，叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾•这个矛盾nJ•以是与假设矛盾或与数学公理上蔓公式、定义或已被证明了的结论矛盾,或与公认的简单事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下结论词至少有一个至多有一个至少有"个至多有2个反设词一个也没有（不存在）至少
2、有两个至多有（刀一1）个至少有5+1）个结论词只有一个对所有X成立对任意X不成立反设词没有或至少有两个存在某个X不成立存在某个/成立结论词都是一泄是P或q门且q反设词不都是不-定是綁P旦綁q綁门或綁a探要点•究所然［情境导学］王戎小吋候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小刖友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这就是著名的“道旁苦李”的故事•王戎的论述，运用的方法即是本节课所
3、要学的方法一一反证法.探究点一反证法的概念思考1结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？答（1）假设原命题不成立（提出原命题的否定，即“李子苦”），（2）以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论（“早被路人摘光了”），（3）判定该结论与事实（“树上结满李子”）矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？答（1）与假设矛盾；（2）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾.思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间
4、的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1已知直线方和平面a,如果a,bUa,且白〃方，求证：a//a.证明因为a//b,所以经过直线曰，方确定一个平面0.因为Ma,而日U0,所以a与〃是两个不同的平面.因为bUa,且bUB,所以ciC =b.下面用反证法证明直线臼与平面Q没有公共点.假设直线臼与平面a有公共点化如图所示，则胆aW=b,即点"是直线自与方的公共点，这与allb矛盾.所以a//a.反思与感悟数学中的一些基
5、础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法.跟踪训练1如图，已知訓b,&Q平面a=A.求证：直线方与平面。必相交.证明假设力与平面a不相交，即方Ua或b//a.①若bUa,因为b//a,国a,所以臼〃a,这与臼Aa=A相矛盾；②如图所示，如果b//<7,则②方确定平面B.显然Q与〃相交，设aCfi=cf因为b//ci,所以b//c.又&〃方，从而日〃C,且cAO,cCa,则a//a,这与a（~}a=A相矛盾.由①②知，假设不成立，故直线力与平面。必相交
6、.探究点三用反证法证明否定性命题例2求证：、问不是有理数.证明假设迈是有理数.于是，存在互质的正整数胎〃，使得応=号，从而有m=^2n,因此m=2n,所以刃为偶数•于是可设m=M是正整数），从而有4尸=2/?2,即n=2口,所以/7也为偶数.这与刃，刀互质矛盾.rh上述矛盾可知假设错误，从而农不是有理数.反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时,由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法.跟踪训练2已知三个正数0b,C成等比数列，但不成等差数列，求证：士，、仏，讥不成等差数列.证明假设卫,讥成等差数列，贝IJy[^+yl~c=即卄
7、c+2yf二=4b,而K=ac,即b=y[ac,a+c+2y[ac=（诵—讥）2=0.即托=匹，从而a=b=c,与臼，b,c不成等差数列矛盾，故、月，y[bf讥不成等差数列.探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3若函数代劝在区间[日，力]上是增函数，那么方程f（x）=0在区间[日，力]上至多有一个实根.证明假设方程fx）=0在区间［日，方］上至少有两个实根，设a、0为其小的两个实根.因为心B,不妨设心,又因为函数玖劝在冷，方］上是增函数，所以f（a）
