chapter04非线性方程的迭代解法ppt课件.ppt

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1、非线性方程的迭代解法第4章设非线性方程（4.1）若常数s使f(s)=0,则称s是方程(4.1)的根，亦称其为函数f(s)的零点。则可用搜索法求有根区间.x−1012f(x)的符号−−++求根问题的三个方面：存在性，分布，精确化。例11对分法例2kakbkxkf(xk)符号1.0-1.5+01234561.01.251.31251.32031.51.3751.34381.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242−+−++−−注1对分法对多个零点的情况，只能算出其中一个零点。注2即使f(x)在[a,b]上有零点，也未必有f(a)f(

2、b)<0。2简单迭代法及其收敛性例3解：kxk012345671.51.357211.330861.325881.324941.324761.324731.32472迭代法何时收敛？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xssssy=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1定理4.1考虑方程x=(x),(x)C[a,b],在(a,b)内可导，且(I)当x[a,b]时，(x)[a,b]；(II)0L<1使

3、′(x)

4、L<1对x[a,b]成立。则方程x=(x)在[a,b]上有唯

5、一解s。对于任意的x0[a,b]，由xk+1=(xk)得到的迭代序列{xk}收敛于s，并且(事后估计式)(事前估计式)证明：(1)并且有条件(I)可知如果上面两个不等式中有一个等号成立，则方程(4.2)有根s=a,或s=b.如果两个都是严格不等式，则根据介值定理，必存在s(a,b),使F(s)=s-(s)=0,即方程(4.2)有根s(a,b).现设另有x=(x)的一个根t(a,b).由微分学中值定理及(II)得，即(2)因为x0[a,b],由条件(I)可知xk[a,b].又由条件(II)得到因为而证毕。已知一个三次方程为例4试在1.5附近讨论根的存在惟一性

6、，再用其计算该方程在1.5附近的一个根.并构造的收敛迭代格式，解：设所以f(x)=0在（1,2）内有唯一的根。将方程变形为建立下面的迭代格式：下面验证此格式是收敛的。(x)是单调递增的，故迭代法收敛。用此格式计算得到：x0=1.5x1=1.35721x2=1.33086x3=1.32588x4=1.32494x5=1.32476x6=1.32473X7=1.32472x8=1.32472局部收敛性定义：定理4.2证明：由于导数的连续性，由微分学中值定理，由定理4.1，迭代法收敛。kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123׃x0x1x2x3׃23987׃

7、21.521.5׃21.751.734751.732631׃21.751.7321431.732051׃例53简单迭代法的收敛速度定义：成立，或存在某个K>0,使得当kK时则称序列{xk}收敛于s时具有p阶收敛速度。定理4.3设(x)C[a,b],在(a,b)内连续可导，且(1)当x[a,b]时，(x)[a,b]；(2)0L<1使0<

8、′(x)

9、L<1对x[a,b]成立。对于任意的x0[a,b]，由xk+1=(xk)得到的迭代序列{xk}收敛于s，并且当x0s时，迭代法是线性收敛的。证明：定理4.1已经完成了收敛性证明。下证收敛阶是线性的。由T

10、aylor公式，有收敛阶是线性的。定理4.44.迭代收敛的加速方法一、埃特金(Aitken)加速收敛方法Aitken加速：xyy=xy=(x)sx0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)一般地，有：比收敛得略快。二、斯蒂芬森(Steffensen)迭代法Aitken方法不管原序列{xk}是怎样产生的，对{xk}进行加速计算，得到序列。把Aitken方法与不动点迭代法结合，则可得到下面的迭代法：定理4.5例6解：kxkykzk0123451.51.416291.355651.329851.324801.324722.375001.840921.491401.347101

11、.3251812.39655.238882.317281.444351.32714例7解：kxkykzk0123.53.734443.733073.604143.733813.662023.733475.Newton迭代法一、牛顿法及其收敛性在x0和x之间。将(sxk)2看成高阶小量，则有：xysxk定理4.6设s是方程(4.1)根，在包含s的某个邻域中f(x)具有连续的二阶导数，且一阶导数不为零。则证明：Newton迭代法(4.7)的迭代函数为二、牛顿法应用举例例8解：kxk01230.50.571020.5