非线性方程(组)的迭代解法

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1、第二章非线性方程(组)求根方法若n=1,称为非线性方程求根问题；n>1，称为非线性方程组求解问题。理论问题：（1）解的存在性。即有解还是无解，有多少解。（2）解的性态。即孤立解的区域，解的重数，光滑性。关于解的存在性及其性态，不是数值分析所讨论的问题。我们总认为：我们的任务是用数值方法求满足一定精度要求的近似解！通常求其精确解是困难的10/4/20211◆二分法内容:◆一般迭代法◆牛顿迭代法◆迭代法的加速◆非线性方程组的牛顿迭代法*10/4/202121、二分法设在区间上连续且有，则在区间内有解，不妨设解唯一！算法构造原理:有

2、根区间10/4/20213x1aabx2b什么时候停止？或x*算法停止的条件x10/4/20214综合上述，得到如下算法，(1)(2)(3)否则(4)否则，转(2)；例1可得共计算21次！注：其中为精度控制参数!10/4/20215二分法只能求有根区间中的奇数重的实根;关于二分法的讨论(1)二分法线性收敛;(2)二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点!(3)故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!返回主目录10/4/202162、一般迭代法(1)(2)(3)(一)构造方法(1)10/4/20217例210/4/202181.

3、5000-0.87506.7324-69.72001.0275e+8不收敛1.50001.28701.40251.34551.37521.36011.36781.36391.36591.36491.36541.36511.36531.36521.36521.50000.81652.99690-2.9412i不收敛1.50001.34841.36741.36501.36531.36521.3652方法1方法2方法3方法4*收敛与否，以及收敛快慢，取决于迭代函数15次6次*精度控制的表达式？？10/4/20219(二)大范围收敛定

4、理(1)(2)则(1)(2)(3)①②下面看证明过程，即是自映射；10/4/202110(1)由条件(1)可得解的存在性；由条件(2)可证解的唯一性！(2)由条件(1)可知(3)①得证；进而可证②!10/4/202111(三)局部收敛定理设在包含x*某个开区间内连续，若由迭代(1)产生的序列,使得则证明:略!注：当定理条件成立时，只要x0充分接近x*，就能保证迭代序列{xn}收敛于x*！且有与前一定理完全相同的不等式成立！10/4/202112分析例2四种迭代格式的收敛性，一般迭代法只有理论上的意义，因为构造保证收敛的迭代函数

5、比较困难。注:方法1的收敛性分析方法2的收敛性分析方法3的收敛性分析方法4的收敛性分析四种迭代格式的计算结果见本课件P9!取定初值x0=1.5，ε=1e-4,10/4/202113（四）收敛阶（速度）的讨论定义:p=1——线性收敛；p=2——平方收敛；2>p>1—超线性收敛；注：1、p=1时，c<1;2、满足局部收敛定理的简单迭代算法至少具有一阶收敛速度。10/4/202114定理（简单迭代算法m阶收敛的充分条件）设在包含x*某个开区间内连续，若使得则注:1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；2、给出了提高收敛速度的方法!由

6、迭代产生的序列{xn}以m阶收敛速度收敛到x*。证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！10/4/202115例3解：迭代函数为10/4/202116迭代函数为解：#返回主目录10/4/2021173、简单迭代法加速如何对其加速?由微分中值定理得事实上，设迭代算法产生的序列，其中介于和之间。10/4/202118(一)埃特金(Aitken)加速方法令作为的校正值！10/4/202119(二)steffensen加速算法设迭代算法，对其应用Aitken加速方法，得到如下Steffensen算法:若在附近变化不大，10/4/202120

7、Steffensen算法的收敛性注:（1）可以用Steffensen算法对收敛缓慢的简单迭代算法加速！可以证明：（2）对于至少平方收敛的算法，用Steffensen算法进行加速，意义不大！返回主目录10/4/2021214、牛顿迭代算法将f(x)在初值x0处做Taylor展开取其线性部分做为f(x)的近似，有：若则有记为同理，我们可以得到xyx*x010/4/202122这样一直下去，我们可以得到迭代序列Newton迭代的迭代函数(2)——牛顿迭代算法(切线法)其它构造方法(1)待定函数法:(2)数值积分法:10/4/2021

8、23收敛定理（单根的情形）10/4/202124证明：由已知可得，所以至少平方收敛！#利用收敛阶的定义来证明！注：也可以由收敛阶的判定定理来证！10/4/202125应用举例（1）对于给定的正数C，应用牛顿法解二次方程x2-C=0。可得证明上述迭代算法收敛，并求收敛阶！1）当