方程与方程组迭代解法.ppt

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1、引言6.1方程求根法试探法与二分法迭代法及其收敛条件迭代法收敛速度加速收敛技术牛顿迭代法弦割法6.1.1试探法和二分法理论依据：试探法二分法（区间平分法）于是求方程f(x)=0的根的二分法算法例题例设方程解：取h=0.1,扫描得：又即在有唯一根。有根区间：[1.300000000,1.400000000][1.300000000,1.350000000][1.300000000,1.325000000][1.312500000,1.325000000][1.318750000,1.325000000][1.321875000,1.325000000][1.323

2、437500,1.325000000][1.324218750,1.325000000][1.324609375,1.325000000]x≈1.32480f=3.6990*10^(-4)6.1.2迭代法及收敛性对于有时可以写成形式如：迭代法及收敛性考察方程。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入中的右端得到，再以为一个猜测值，代入的右端得反复迭代得迭代法及收敛性若收敛，即故是的一个根迭代法的几何意义交点的横坐标y=x简单迭代法将变为另一种等价形式。选取的某一近似值，则按递推关系产生迭代序列。这种方法称为简单迭代法。例题例题精

3、确到小数点后五位例题但如果由建立迭代公式仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列迭代法的收敛性迭代收敛定理证明：不失一般性，不妨设否则为方程的根。首先证明根的存在性令迭代收敛定理则，即由条件2）是上的连续函数所以是上的连续函数。故由零点定理在上至少有一根迭代收敛定理再证根的唯一性设有均为方程的根则因为0

4、收敛条件。证明：例题例题若取迭代函数，不满足收敛定理，故不能确定收敛到方程的根。简单迭代收敛情况的几何解释6.1.3迭代收敛速度迭代法收敛的阶定义设序列收敛到，若有实数和非零常数C，使得其中，，则称该序列是p阶收敛的，C称为渐进常数。迭代法收敛的阶当p=1时，称为线性收敛；当p>1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。迭代法p阶收敛的充要条件是：迭代函数满足6.1.4加速收敛技术6.1.5Newton迭代法Newton迭代法去掉的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：Newton迭代法Newton迭代法几何解释几何意义例用牛顿

5、法求的近似解。解：由零点定理：例题例用Newton法计算解：Newton迭代法算法框图Newton迭代法算法Newton迭代法收敛性定理设函数，且满足若初值满足时，由Newton法产生的序列收敛到在[a,b]上的唯一根。Newton迭代法收敛性证明：根的存在性根的唯一性Newton迭代法收敛性收敛性Newton迭代法收敛性Newton迭代法收敛性Newton迭代法收敛性推论在定理条件下，Newton迭代法具有平方收敛速度。Newton迭代法的变形6.2.4弦截法Newton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。弦截法令y=0,解得弦与x轴的

6、交点是坐标x2弦截法弦截法的几何解释弦截法收敛定理6.2线性方程组迭代解法迭代法适用于系数矩阵为稀疏矩阵的方程组.基本迭代法基本迭代法的收敛条件6.2.1基本迭代法(Jacobi迭代法)6.2.1基本迭代法(Seidel迭代法)6.2.1基本迭代法(SOR迭代法)6.2.2基本迭代法收敛条件迭代收敛定理例6.4判断求解AX=b的三种迭代法是否收敛，其中A为(2)A对称正定，但

7、2D-A

8、=0,说明2D-A不正定，故Jacobi迭代发散，0<ω<2时SOR迭代收敛；(3)A为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代收敛，0<ω<=1时SOR迭代收敛；6.3非线性代数方

9、程组的迭代解法6.3.1简单迭代法6.3.1Seidel迭代6.3.2牛顿迭代法