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1、非线性方程组的迭代解法滕栋美07025008非线性方程组的迭代解法滕栋美0725008（巢湖学院数学系安徽巢湖238000）摘要：本文通过大量的例题，并结合定理，研究了求解非线性方程组的几种迭代解法：不动点迭代法，固定的迭代法，三阶敛速迭代法，Newton型迭代法，MRV迭代法。其中重点研究了Newton型迭代法并扩展至另一种Newton型迭代法。关键字：非线性方程组；不动点迭代法，固定的迭代法，三阶敛速迭代法，Newton型迭代法，MRV迭代法Theiterationmethodofnonlinearequat
2、ions0725008TengDongmei(Chaohucollegemathematicsanhuichaohuindustry)Abstract:Theiterationmethodofnonlinearequations.Abstract:thispaperthroughalotofexamples,andcombiningtheoremforsolvingnonlinearequations,severaliterativesolution:fixedpointiterativemethod,fixed
3、iterativemethod,third-orderconvergesfastiterativemethod,Newtontypeiterativemethod,MRViterativemethod.OneofthekeyresearchNewtoniterativemethodandexpandtoanotherkindofNewtoniterativemethod.Keyword:nonlinearequations;Fixedpointiterativemethod,fixediterativemetho
4、d,third-orderconvergesfastiterativemethod,Newtontypeiterativemethod,MRViterativemethod.一、引言众所周知，非线性问题是当今科学研究的热点，如：非线性电路与非线性微分方程等，这比学科的研究更能揭示现实世界，因此，对非线性方程组的解法的研究具有重要的意义。目前，对于非线性方程组的求解，尤其是对大型的非线性方程组的求解还是没有找到好的方法，不过，正是不懈努力研究和探索，下面介绍几种常用的求解非线性方程组的迭代解法。二、非线性方程组的迭
5、代解法迭代法：迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个精确的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，知道满足预先给定的精度要求为止对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性与收敛速度以及误差估计。（一）不动点迭代法把方程组F（x）=0改写为下面便于迭代的等价形式：X=（x)(1)其中：DRnRn,且是连续的。定义1若x*D,满足x*=(x*),则x*称为的一个不动点。由（1）构造迭代
6、法（这里我们记住第k次迭代向量为xk）:Xk+1=(xk),k=0,1,2,……，（2）如果由此得到序列{xk}满足xk=x*,x*,x*就是的不动点，这样就求出上式的解。定义2设：DRnRn，若存在L（0，1），使
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8、H（y）-H(x)
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10、L
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12、y-x
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14、,x,yD0D。（2）称在D0上是压缩的映射。-12-非线性方程组的迭代解法滕栋美07025008定理1（压缩映射原理）设：DRnRn，且（1）在闭集D0D上是压缩的。（2）把D0映入自身，即(x)D0,xD0.则在D0中有唯一的不动点x*.推论1在定理1条件
15、下，对任意的x0D0,产生的序列{xk}满足xk=x*.推论2在定理1条件下有
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17、x*-xk
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21、xk+1-xk
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25、X1-X0
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27、.我们知道压缩映射的性质与所取范数有关，即如果对某种范数是压缩的，对另一种范数则未必是压缩的。但是由定理1，只要对任一种范数是压缩的，且满足条件（2），则存在不动点x*,且{xk}收敛到x*..另外一个不动点存在定理，我们不加证明列出。在n=1的情形，它和定理1.1第一部分是一致的。定理2（Brouwer不动点定理）设：DRnRn，H在有界闭集D0D上连续，且（x）D0中必存在不
28、动点。以上定理讨论了（2）产生序列{xk}在D0的收敛性，和n=1情形一样，我们也要引入局部收敛性和阶的概念。定义3设x*为的不动点，若存在x*的一个领域SD,对一切x0S,(2)产生序列{xk}S,且xk=x*，则称{xk}具有局部收敛性。定义4设{xk}收敛于x*,存在常数p1及常数C>0，使=C.则称{xk}为p阶收敛。这个定义和n=1情形的定义1.2是类似的，只是
