第四讲-三角函数的概念、图象与性质.doc

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1、第四讲 三角函数的概念、图象与性质【命题角度聚焦】(1)以客观题形式考查:诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的定义、图象变换、三角函数的性质,由图象求解析式.(2)以大题形式考查三角函数的图象与性质,常常与平面向量结合,考查三角恒等变换,图象变换及三角函数的性质,题型以中低档为主,复习的关键是熟练掌握基本概念,图形的分布变化规律和三角函数的基本性质.【核心知识整合】1.任意角和弧度制(1)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β

2、β=α+k·360°,k∈Z}.(2)把长度等于

3、半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(3)弧长公式:l=

4、α

5、r,扇形的面积公式:S=lr=

6、α

7、r2.2.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.诱导公式公式一sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα公式二sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα公式三s

8、in(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα公式四sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα公式五sin=cosα,cos=sinα公式六sin=cosα,cos=-sinα口诀奇变偶不变,符号看象限4.同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1,tanα=(cosα≠0).5.正弦、余弦、正切函数的性质函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR{x

9、x≠+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函

10、数最小正周期2π2ππ函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增.在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增.在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增函数y=sinxy=cosxy=tanx最值当x=+2kπ,k∈Z时,y取得最大值1.当x=-+2kπ,k∈Z时,y取得最小值-1当x=2kπ,k∈Z时,y取得最大值1.当x=π+2kπ,k∈Z时,y取得最小值-1无最值函数y=sinxy=co

11、sxy=tanx对称性对称中心:(kπ,0)(k∈Z).对称轴:x=+kπ(k∈Z)对称中心:(+kπ,0)(k∈Z).对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:(,0)(k∈Z)6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)“五点法”作图设z=ωx+φ,令z=0、、π、、2π,求出x的值与相应的y的值,描点连线可得.【命题热点突破】考点1:三角函数的概念、诱导公式及同角基本关系式例1、已知π<α<2π,sinα+cosα=-.(1)求tanα的值.(2)求sin2α+3sinαcosα-4cos2α的值.(3)求的值变

12、式1、(2014·吉林市质检)已知sin2α=,则cos2(α-)=(  )A.      B.-C.D.-变式2、(理)(2014·唐山市一模)若sin(-α)=,则cos(+2α)=(  )A.-B.C.-D.考点2、三角函数的图象变换例2、已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,

13、φ

14、<,x∈R)的图象的一部分如图所示,则函数f(x)的解析式为________.变式3、(理)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,

15、φ

16、<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin3x的图象,

17、则只要将f(x)的图象(  )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度变式4、(2014·唐山市二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f()=(  )A.-B.-C.D.[方法规律总结] 1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定A,再由周期确定ω,由图象上特殊点的坐标来确定φ,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点

18、属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.2.解答有关平移伸缩变换的题目时,向左(或右)平移m个单位时,用x+m(或x-m)代替x,向下(或上)平移n个单位时,用y+n(或y-n)代替y,横(或纵)坐标伸长或缩短到原来的k倍,用代替x(或代替y),即可获解.考点3:三角函数的性质例3、(2013

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