三角函数的性质与图象.doc

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1、高考网www.gaokao.com§1三角函数的性质与图象　　一、复习要点 　三角函数的性质（包括三角公式）与图象是解答三角函数问题的知识基础；借助三角函数的图象来理解、掌握、运用三角函数的基本性质，是常用的复习方法．　　三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、值域性质、关系性质（包括相等关系与不等关系）的判定与应用，是本节复习的重点；掌握好图形变换中，三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律（要求能把这种规律迁移到一般函数理论中），是本节复习的又一重点，也是难点．　　二、例题讲解　　例1

2、（1）如果α，β∈（（π／2），π），且ｔｇα＜ｃｔｇβ，那么必有（　　）．　　Ａ．α＜β 　　Ｂ．β＜α　　Ｃ．α＋β＜（3／2）π　　Ｄ．α＋β＞（3／2）π　　　　　　　　　（1992年高考文科试题）　　（2）满足ａｒｃｃｏｓ（1－ｘ）≥ａｒｃｃｏｓｘ的取值范围是（　　）．　　Ａ．［－1，－（1／2）］　　Ｂ．［－（1／2），0］　　Ｃ．［0，（1／2）］　　Ｄ．［（1／22），1］　　　　　　　　　　（1997年高考理科试题）　　（3）已知点P（ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限，

3、则在［0，2π）内α的取值范围是________.　　　　　　（1998年高考题）　　讲解：（1）本题要用已知的正切函数ｔｇα与余切函数ｃｔｇβ的大小关系，来推断角α与β的大小关系，回忆与这个问题紧密相关的基础知识与方法，若想到函数的单调性和利用单位圆作直观分析的方法，可理出如下推断方法：图3-1　　在单位圆的第二象限中，让角α、β沿逆时针方向旋转，则看到：ｔｇα从－∞开始单调递增到0，而ｃｔｇβ从0开始单调递减向－∞；若α与β重合在第二象限的角平分线上，则ｔｇα＝ｃｔｇβ＝－1．立知当α与β在第

4、二象限的上半象限中任意变化，即α，β∈（（π／2），（3π／4））时，总有ｔｇα＜ｃｔｇβ；而α，β∈（（3π／4），π）时，总有ｔｇα＞ｃｔｇβ．从而由α，β∈（（π／2），π），ｔｇα＜ｃｔｇβ，推出π＜α＋β＜（3π／2）．选C．　　若想用解不等式的方法作推断，并在变形中巧用正切倍角公式，又得如下解法：　　∵　α，β∈（（π／2），π），　　tgα＜ctgβｔｇα＜（1／ｔｇβ）ｔｇαｔｇβ＞1　　1－ｔｇαｔｇβ＜0（tgα＋tgβ）／tg（α＋β））＜0，　　∴　ｔｇα＜ｃｔｇβ（ｔｇα＋

5、ｔｇβ）／ｔｇ（α＋β））＜0．　　∵　ｔｇα＋ｔｇβ＜0，高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com　　∴　ｔｇ（α＋β）＞0，并推得π＜α＋β＜（3π／2）．　故选C．　　若考虑函数的单调性，由ｔｇα＜ｃｔｇβ，得　　ｔｇα＜ｔｇ（（3／2）π－β）．　　∵　α，β∈（（π／2），π），∴　（3／2）π－β∈（（π／2），π）．　　又ｙ＝ｔｇｘ在（（π／2），π）上是增函数，　　∴　α＜（3／2）π－β，故选Ｃ．　　此题还可以用极限思想做推断：　当（π／2）＜α＜

6、π，（π／2）＜β＜π，且α→（π／2），β→（π／2）时，有tgα→－∞，ctgβ→0．　∴总有tgα＜ctgβ成立．可见A、B、D均不成立，故选C．　（2）本题是关于反余弦函数的简单不等式解集的判定问题．若想利用反余弦函数的图象来分析判定，则先想出或画出草图．由图可知，反余弦函数在定义域［－1，1］上单调递减，所以原不等式等价于1－ｘ≤ｘｘ≥（1／2）（1／2）≤ｘ≤1．－1≤ｘ≤1，0≤ｘ≤1－1≤1－ｘ≤1　　故而选Ｄ．图3-2　　若能注意到，在ｘ轴上x与1-x两点关于（1／2）点对称，

7、则由图象立即看出x的取值范围是（1／2）≤ｘ≤1．　　若想利用特殊值法判定，则取ｘ＝－（1／2），可排除Ａ、Ｂ；取ｘ＝0，可排除Ｃ．　　（3）本题的条件是几何型的，而目标却是求变量α的取值范围，所以解答此题，应首先将几何型条件等价转化为不等式或不等式组，然后分析求解得出答案．现分析解答如下．　　点P（sinα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限ｓｉｎα－ｃｏｓα＞0，ｓｉｎα＞ｃｏｓα，①ｔｇα＞0ｔｇα＞0．②　　在单位圆中分析易知：满足不等式①的α为第一、三象限角平分线左上方半圆中的角；满足不等式②的

8、α角为第一或第三象限中的角．高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com图3-3　　故取以上两个α的变化范围所对应的集合与区间［0，2π）的交集，即得α的取值范围是（（π／4），（π／2））∪（π，（5π／4））．　　例2　把函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（其中φ为锐角）的图象至少向右平移（π／8）或至少向左平移（3π／8），可使对应的函数成为奇函数．则函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）的一条对称轴为（　　）．　　Ａ．ｘ＝（π／2）　　Ｂ．ｘ＝（π／4）