三角函数的图象与性质

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1、1.4三角函数的图像与性质执教：克州一中阿吉买买提O′①下面我们借助正弦线(几何法)来画出y=sinx在[0，2π]上的图象.首先，我们来作坐标为(x0，sinx0)的点S，不妨设x0>0，如图所示，在单位圆中设AP的长为x0(即∠AO′P=x0)，则MP=sinx0，所以点S(x0，sinx0)是以AP的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点.⌒⌒S(x0，sinx0)My-----x1-1π2πO1.4.1正弦函数、余弦函数的图像PA为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.2知道如何作出y=sinx的图象的一个点，就可以作出一系列

2、的点，例如，在单位圆中，作出对应于的角及相应的正弦线,相应地,把x轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既得到正弦函数y=sinx在[0，2π]区间上的图象，如图所示.---11yxAO2ππ链接3最后我们只要将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象，如图所示.正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecurve).正弦曲线--yxO1-12π4π6π-2π-4π-6π以上是借助正弦线描点

3、来作出正弦曲线，也可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线.yxO1-1π2π4π-π-2π3π4②用描点法(代数法)作出正弦函数在[0，2π]上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象.x0π2πy=sinx010-10(1)列表(2)描点(3)连线-----xy1-1Oπ2π(五点法)由上图可以看出，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上起着关键作用的点有以下五个:(0，0)，(，1)，(π，0)，(π，-1)，(2π，0)5观察正弦和余弦曲线(如下图)的形状和位置,说出它们的异同点，yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosxy=sinx它

4、们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=－1之间.但它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点(0，1).由cox=sin(x+)，可知y=cosx图象向左平移个单位得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线.y=cosx图象的最高点(0，1)，与x轴的交点(，0)，(，0),图象的最低点(π，－1).6事实上，描出五点后，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，今后，我们将经常使用这种“五点(画图)法”例1画出下列函数的简

5、图：(1)y=1+sinx；(2)y=－cosxx∈[0，2π)-----xy1-1Oπ2π-----xy1-1Oπ2π7x0π2x0π2πsin2x010－10例2用“五点法”画出下列函数的简图：y=sin2xx∈[0，2π)描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示)yxO1-1π2π-3π-π-2π3πy=sin2xy=sinx两图象有何关系？8练习1.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系:(1)y=sinx－1；(2)y=2sinx.y=sinx－1y=sinxxyO2ππ-π-2π1-2-1-3πy=sinx－1的

6、图象可由正弦曲线向下平移1个单位.9y=sinxy=2sinxxyO2ππ-π-2π1-2-1-3π22.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系:(2)y=2sinx.y=2sinx的图象可由正弦曲线上的每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变.102.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系:(1)y=1+cosx；(2)y=cos(x+).y=1+cosx的图象可由余弦曲线向上平移1个单位.可由余弦曲线上每一点向左平移个单位得到.y=1+cosxy=cosxxyO2ππ-π-2π12y=cosxy=c

7、os(x+)xyO2ππ-π-2π111周期性的有关概念：那么函数f(x)就叫做周期函数(periodicfunction)，非零常数T叫做这个函数的周期(period).一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)最小正周期：对一个周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期.正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈z且k≠0)都是它们的周期，它们最小的正周期都是2π;正切函数也是周期函数，其最小的正周期是π.1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1

8、2说明:①当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数.②设f(