三角函数 图象与性质

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1、4．函数的图象与性质1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，x∈R)的图象的步骤：(1)确定函数的最小正周期T＝；(2)列表确定五个关键点：令ωx＋=0，，，，2后分别求出对应的x，y；(3)描点连线。2．函数y＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)图象变换：(1)振幅变换：y＝f(x)

2、―→．y＝sinx的图象的坐标伸长或缩短到原来的倍(坐标不变)得到y＝Asinx的图象．(2)平移变换：y＝f(x)―→y＝；y＝f(x)―→y＝。①y＝sinx的图象向左或向右平移个单位得到y＝sin(x＋)的图象；②y＝sinx的图象向上或向下平移个单位得到y＝sinx＋b的图象.(3)周期变换：y＝f(x)―→．y＝sinx的图象的坐标伸长或缩短到原来的倍，(坐标不变)得到y＝sinωx的图象．(4)由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象：①先平移后伸缩：②先伸缩后平移：-6-3．当函数y＝

3、Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，x∈(0，＋∞))表示一个振动量时，A叫做，T＝叫做．f＝叫做，ωx＋叫做，叫做．4．函数y＝Asin(ωx＋)的周期T＝.例题精析例1：已知函数y＝。(1)用“五点法”画出它的图象；(2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到？[点评与警示]　用“五点法”作图应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，

4、当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．⑤图象的变换顺序有两种，一是先平移后伸缩；二是先伸缩后平移．两者平移量不同，前者横移

5、

6、个单位，后者是横移个单位．变式将函数y＝sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(　　)。例2：已知f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0，)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式．-6-变式已知函数y＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0，x∈R)在一个周期内的图象如图所示，求f(x)的

7、解析式．例3：（函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质）已知。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最值；(3)写出函数f(x)的单调递减区间。[点评与警示]　将形如y＝Asin(ωx＋)(其中A≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋(ω＞0)”视为一个“整体”；②A＜0时，所列不等式方向应与y＝sinx单调区间对应的不等式方向相反．变式已知函数f(x)＝。(1)将函数f(x)化简成Asin(ωx＋)＋B(A＞0，ω＞0，∈[0,2π))

8、的形式，并指出f(x)的周期；(2)求f(x)在x∈[0,π]时的最大值与最小值。-6-例4：已知函数f(x)＝sinxcos＋cosxsin(其中x∈R,0＜＜π)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若点在函数的图象上，求的值．方法规律小结1．注意y＝Asin(ωx＋)的图象形状，利用一个周期内起关键作用的五点．2．y＝Asin(ωx＋)的对称中心及对称轴可把ωx＋看作“整体”．再求x的值．3．三角函数的单调性，往往把ωx＋看作整体，运用复合函数的单调性解决．4．图象变换的两种途径的不同，先平移后伸缩是

9、左右平移

10、

11、个单位，先伸缩后平移是左右平移个单位．过关检测1．已知函数的最小正周期为=（）。A．B．C．1D．22．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　)。A．－sinx　　　B．sinxC．－cosx　　　D．cosx3．为得到函数y＝cos(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)。A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0、ω＞0、

12、φ

13、

14、＜)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为(　　)。A．y＝sin2xB．y＝cos2x-6-C．y＝sin(2x＋)D．y＝sin(2x－)5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(　　)。6．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调