第5课时-函数的单调性与导数.doc

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1、第5课时函数的单调性与导数一、知识要点填空一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:l在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内为单调递增;如果,那么函数在这个区间内为单调递增。如果在某个区间内恒有,则为aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0二、典型例题探究例1判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)因为,所以当,即时,函数当,即时,函数所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为。l用导数求函数单调区间的步骤:①②③④.变式练习:求下列函数的单调区间:(1)(2)(3)(4)f(x)=2x3-6

2、ax2+7(a≠0)例2求证:内是减函数。l证明函数单调性的方法:(1)定义法(2)导数法例3当x>0时,证明不等式:1+2x<e2x.设例4设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.[解析] (1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12,即,解得a=1,b=-3.(2)由a=1,b=-3得f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x

3、2-2x-3)=3(x+1)(x-3).令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0,解得-1

4、(,D.(24、(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(  )A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)5、已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()6、(福建理)已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时()A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<

5、0,g′(x)<07、已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.8、已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________.9、.已知向量,若函数在区间(-1,1)上是增函数,求的取值范围.【课后练习】一、选择题1、函数的单调减区间是()ABCD2、函数在R上是减函数,则()ABCD3、函数在下列哪个区间内是增函数()ABCD4、若函数在区间(0,2)内是减函数,则实数的取值范围是()ABCD二、填空题5、函数上的单调性是_______

6、__________________.6、函数的单调减区间是(-5,5),则此函数的单调增区间是_________________________.7、若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.三、解答题8、讨论函数的单调性。9、求函数的单调区间。10、课堂练习:1、D2、C3、B4、D5、C6、B7、[答案] b<-1或b>2[解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意b<-1或b>2.8、[答案] a≥1[解析]由已知a

7、>在区间(1,+∞)内恒成立,设g(x)=,则g′(x)=-<0(x>1),∴g(x)=在区间(1,+∞)内单调递减,∴g(x)<g(1),∵g(1)=1,∴<1在区间(1,+∞)内恒成立∴a≥19、因为,所以恒大于0.即,令当,所以。也可以由去求。课后练习:1、A2、D3、D4、A5、减函数6、7、[答案] [3,+∞)[解析] y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax<0在区间(0,2)内恒成立,即a>x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.8、9、,因为,令令要讨论。10

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