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时间:2018-12-14
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1、导数与函数的单调性311导数与函数的单调性教学过程:一.创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用。二.新讲授1.问题:图33-1(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,图33-1(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区
2、别?通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如图33-3,导数表示函数在点处的切线的斜率.(图33-3)在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如
3、果,那么函数在这个区间内单调递减.说明:(1)特别的,如果,那么函数在这个区间内是常函数.3.求解函数单调区间的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数的下列信息:当时,;当,或时,;当,或时,试画出函数图像的大致形状.解:当时,,可知在此区间内单调递增;当,或时,;可知在此区间内单调递减;当,或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.综上,函数图像的大致形状如图33-4所示.例2.判断下列函数的单调性,
4、并求出单调区间.(1);(2)(3);(4)解:(1)因为,所以,因此,在R上单调递增,如图33-(1)所示.(2)因为,所以,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减;函数的图像如图33-(2)所示.(3)因为,所以,因此,函数在单调递减,如图33-(3)所示.(4)因为,所以.当,即时,函数;当,即时,函数;函数的图像如图33-(4)所示.注:(3)、(4)生练例3.如图33-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.分析:以容器(2)
5、为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解:思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.如图33-7所示,函数在或内的图像“陡峭”,在或内的图像“平缓”.例4.求证:函数在区间内是减函数.证明:因为
6、当即时,,所以函数在区间内是减函数.说明:证明可导函数在内的单调性步骤:(1)求导函数;(2)判断在内的符号;(3)做出结论:为增函数,为减函数.例.已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.解:,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得:所以实数的取值范围为.说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.例6.已知函数=x+,试讨论出此函数的单调区间解:′=(x+)′=1-1•
7、x-2=令>0解得x>1或x<-1∴=x+的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞)令<0,解得-1<x<0或0<x<1∴=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1)四.堂练习1.求下列函数的单调区间1f(x)=2x3-6x2+72f(x)=+2x3f(x)=sinx,x4=xlnx2.本练习五.回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数单调区间(3)证明可导函数在内的单调性
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