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1、导数与函数的单调性xyOPQ1Q2y=f(x)【基础知识】1、导数的几何意义:如图,曲线在点处切线的斜率;切线方程为.2、用导数求函数的单调区间:解不等式可得函数的单调递区间;解不等式可得函数的单调递区间.3、知单调区间求参数的范围:函数在区间上为增函数在区间上恒成立;函数在区间上为减函数在区间上恒成立(且);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围.4、导数与函数单调性的关系:(1)试求函数的单调区间,并说明单调区间端点值的取舍原则为;(2)试举一例子说明“函数在区间上为增函数在区间上恒成立”,例子.5、常用求导公式:①,,②,,③,,④,.6、求导运算:①,②,
2、③,④.【例题选讲】【例1】(2010全国2)若曲线在点处的切线方程是,则A.B.C.D.【题情捉摸】(1)切线的斜率,得;(2)切线的方程为,与对比得.【例2】(1)已知函数在区间上为增函数,求实数的取值范围.【题情捉摸】(1)在上为增函数恒成立;(2)得在上恒成立,于是得的取值范围.6(2)已知函数在上是增函数,求实数的取值范围.【题情捉摸】(1)在上为增函数恒成立,得;(2)又当时,,,不合题意,舍去.【例3】(1)函数的递增区间为.【题情捉摸】(1)计算得;(2)令0,解得.(2)已知函数,试讨论的单调性.【题情捉摸】(1)注意到的定义域为,算得;(2)
3、由于,故只需抓住,讨论它在上的正、负即可.【巩固训练】一、选择题1、(2009宁夏)曲线在点(0,1)处的切线方程为()A.B.C.D.62、设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如左图所示,则导函数的图象可能为()xyOxyOAxyOBxyOCxyOD二、填空题3、已知点P在曲线上,则点P到直线的最小距离为.4、设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为三、解答题5、(2009北京)设函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.6、(2010山东)已知函数.(1
4、)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,讨论的单调性.【参考答案】6【例1】解:,有,∴切线的方程为,即,与对比得,选A.【例2】(1)解:得恒成立,当在上为增函数时,有,即恒成立,∴.填【例2】(2)解:由,得,又当时,,恒成立,在上不是增函数，∴.填.【例3】(1)解:由或.故填(或).【例3】(2)解:(1)函数的定义域为,,∵,令,其对称轴为.(i)当,即时,,在上恒成立,即有,在上为增函数;(ii)当,且,即时,,有恒成立,在上为增函数;(iii)当,,那么时,,,所以是增函数;(iv)当时,,方程有两不等实根,且均为正数,当或时,,,是增函数,当
5、时,,,是减函数;6综上:当时,在是增函数;当时,在,是增函数,在是减函数.1.B2.D当时,;当时,的符号变化依次为＋、－、＋.3.将直线平移到与曲线相切，设切点为，则，有，∴，切点到直线的距离为.4.,是奇函数,∴,有,设切点为,则,得或(舍去),∴.5.解:(1),曲线在点处的切线方程为.(2)由,得,若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,(3)由(2)知,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增;若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.66.解:(1)当时,
6、,,即曲线又所以曲线在点处的切线方程为,即(2)因为,所以,,令(i)当时,,,所以当时,,此时,函数单调递减;当函数(ii)当时,由,即解得①当时,,恒成立,此时,函数f在上单调递减;②当时,时,,此时,函数单调递减;时,,此时,函数单调递增;时,,此时,函数单调递减;③当时,由于,x∈(0,1)时,g(x)>0,此时,函数f(x)单调递减;x∈(1 ,＋∞)时,g(x)<0此时,函数单调递增.综上所述:当时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增;当时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0时,函数f(x)在(0,1)上
7、单调递减;函数f(x)在上单调递增;函数f(x)在上单调递减.6
