.. 导数与函数的单调性课时

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1、课时1　导数与函数的单调性题型一　不含参数的函数的单调性例1　求函数f(x)＝的单调区间．解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．思维升华　确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．　函数

2、y＝x2－lnx的单调递减区间为____________．答案　(0,1]解析　y＝x2－lnx，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′≤0，得00)．(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解　(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f′(x)＝－a.∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，∴f′(－x)＝－f′(x)，即－a＝－＋a，解得a＝.(2)由(1)知f′(x)＝－a＝1－－a.①当a≥1时，f′(x

3、)<0恒成立，∴a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减．②当00得(1－a)(ex＋1)>1，即ex>－1＋，解得x>ln，由f′(x)<0得(1－a)(ex＋1)<1，即ex<－1＋，解得x

4、导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．　讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当00，故f(x)在(0,)上单调

5、递减，在(，＋∞)上单调递增．题型三　利用函数单调性求参数例3　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f

6、(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<(x＋)max＝－2，当且仅当x＝即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．引申探究：在本例3(3)中，1．若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？解　方法一　∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴即解之得a≤－3，即实数a的

7、取值范围为(－∞，－3]．方法二　∵g′(x)＝x2－ax＋2，由题意可得g′(x)≤0在(－2，－1)上恒成立，即a≤x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋，x∈(－2，－1)的值域为(－3，－2]，∴a≤－3，∴实数a的取值范围是(－∞，－3]．2．若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a的值．解　∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.3．若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围．解　由引申探究1知g(x)在(－2，－1)上为减函数，a的范围是(－∞，

8、－3]，若g(x)在(－2，－1)上为